Herleitung des charakteristischen Polynoms aus dem Minimalpolynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Das hier wird etwas umfangreicher:
in unserer Vorlesung zur linearen Algebra haben wir einen mehr oder minder merkwürdigen Algorithmus zur Berechnung des Minimalpolynoms einer n x n Matrix hingeklatscht bekommen:
Sei A eine 3x3 Matrix.
man nehme einen Einheitsvektor x passender Größe.
zB: x= [mm] \vektor{1\\0\\0}
[/mm]
Dann ergibt logischerweise A*x die erste Spalte von A, soweit so gut.
[mm] A^{2}*x [/mm] ergibt wiederum einen neuen Vektor...
man erhöht jetzt die Potenz von A solange bis
[mm] {A^{n}*x, A^{n-1}*x, A{n-2}*x...} [/mm] linear abhängig sind, sich also
[mm] A^{n}*x [/mm] + [mm] a_{n-1}*A^{n-1}*x [/mm] + [mm] a_{n-2}*A^{n-2}*x [/mm] + ... = 0 mit [mm] a_{n} [/mm] ´s ungleich 0 bilden lässt.
Aus obiger Identität lässt sich jetzt ein Polynom bilden, und zwar:
[mm] m_{x} [/mm] = [mm] x^{n} [/mm] + [mm] a_{n-1}*x^{n-1} [/mm] + [mm] a_{n-2}*x^{n-2}...
[/mm]
man erhält also ein normiertes Polynom, dass sich gegebenenfalls faktorisieren lässt.
Jetzt definiert man sich einen neuen Einheitsvektor, zB
y = [mm] \vektor{0\\1\\0}
[/mm]
und wiederholt das ganze Spiel mit diesem Vektor.
ich nenne das Polynom, dass ich für y erhalte [mm] m_{y}...
[/mm]
Und jetzt meine ersten Fragen:
I.: in unserer Vorlesung konnte ich keinen Grund erkennen, wann ich mit dieser Polynom-Berechnerei aufhöre, denn zum Teil wurde der Algorithmus schon vor dem Durchrechnen mit allen möglichen Einheitsvektoren abgebrochen.
II.: (baut eigentlich auf I auf) woran erkenne ich, dass eins der erhaltenen Polynome [mm] m_x, m_y [/mm] usw. mein Minimalpolynom ist oder wie kann ich das Minimalpolynom aus der erhaltenen bestimmen?
So, weiter im Text:
nachdem in der Vorlesung nun also das Minimalpolynom bestimmt wurde, steht ohne weitere Begründung sofort das charakteristische Polynom da.
Logischerweise enthält das die selben Linearfaktoren wie das MiPo, aber bisher schlugen alle Versuche, mir die Herleitung am Ergebnis zu erklären, fehl... also:
III.: wie kann ich aus den erhaltenen Polynomen bzw aus dem MiPo das charakteristische Polynom bestimmen?
Wer bis hierher gelesen hat:
Danke!
Wer mir ne Antwort geben kann: nochmals ein großes Danke für die Mühe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Di 27.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Clairvoyant,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei A eine 3x3 Matrix.
> man nehme einen Einheitsvektor x passender Größe.
> zB: x= [mm]\vektor{1\\0\\0}
[/mm]
> Dann ergibt logischerweise A*x die erste Spalte von A,
> soweit so gut.
> [mm]A^{2}*x[/mm] ergibt wiederum einen neuen Vektor...
> man erhöht jetzt die Potenz von A solange bis
> [mm]{A^{n}*x, A^{n-1}*x, A{n-2}*x...}[/mm] linear abhängig sind,
> sich also
> [mm]A^{n}*x[/mm] + [mm]a_{n-1}*A^{n-1}*x[/mm] + [mm]a_{n-2}*A^{n-2}*x[/mm] + ... = 0
> mit [mm]a_{n}[/mm] ´s ungleich 0 bilden lässt.
> Aus obiger Identität lässt sich jetzt ein Polynom bilden,
> und zwar:
> [mm]m_{x}[/mm] = [mm]x^{n}[/mm] + [mm]a_{n-1}*x^{n-1}[/mm] + [mm]a_{n-2}*x^{n-2}...
[/mm]
> man erhält also ein normiertes Polynom, dass sich
> gegebenenfalls faktorisieren lässt.
> Jetzt definiert man sich einen neuen Einheitsvektor, zB
> y = [mm]\vektor{0\\1\\0}
[/mm]
> und wiederholt das ganze Spiel mit diesem Vektor.
> ich nenne das Polynom, dass ich für y erhalte [mm]m_{y}...
[/mm]
> Und jetzt meine ersten Fragen:
> I.: in unserer Vorlesung konnte ich keinen Grund erkennen,
> wann ich mit dieser Polynom-Berechnerei aufhöre, denn zum
> Teil wurde der Algorithmus schon vor dem Durchrechnen mit
> allen möglichen Einheitsvektoren abgebrochen.
Das kann ich mir im Augenblick auch nicht erklären -- meiner Meinung nach müßte man es mit allen Standardbasisvektoren (von denen es ja im [mm] $\IR^3$ [/mm] nur 3 Stück gibt) durchprobieren.
Gib' uns doch mal eine Matrix, bei der man nicht alle Standardbasisvektoren durchprobieren mußte.
(Ein simpler Fall kommt mir in den Sinn: Wenn die Matrix eine Nullspalte hat, kann man auf den entsprechenden Standardbasisvektor verzichten.)
> II.: (baut eigentlich auf I auf) woran erkenne ich, dass
> eins der erhaltenen Polynome [mm]m_x, m_y[/mm] usw. mein
> Minimalpolynom ist oder wie kann ich das Minimalpolynom aus
> der erhaltenen bestimmen?
Du erhältst für jeden Basisvektor ein eigenes Polynom.
Das Minimalpolynom müßte dann doch ein Polnom m(X) sein, dass alle Basisvektoren auf Null abbildet -- ich tippe mal, dass das kleinste gemeinsame Vielfache der Polynome [mm] $m_x, m_y, m_z$ [/mm] zum einen die annulierende Eigenschaft und zum anderen die minimale Eigenschaft des Minimalpolynoms erfüllt:
[mm] $m=\operatorname{kgV} (m_x,m_y,m_z)$
[/mm]
Die Bestimmung des [mm] $\kgV$ [/mm] ist recht einfach, wenn [mm] $m_x, m_y, m_z$ [/mm] bereits faktorisiert sind -- das [mm] $\kgV$ [/mm] enthalt dann jeweils alle Faktoren der Teil-Polynome, diese aber jeweils in der kleinsten größten der in den Teil-Polynomen auftretenden Potenzen.
> So, weiter im Text:
> nachdem in der Vorlesung nun also das Minimalpolynom
> bestimmt wurde, steht ohne weitere Begründung sofort das
> charakteristische Polynom da.
> Logischerweise enthält das die selben Linearfaktoren wie
> das MiPo, aber bisher schlugen alle Versuche, mir die
> Herleitung am Ergebnis zu erklären, fehl... also:
> III.: wie kann ich aus den erhaltenen Polynomen bzw aus
> dem MiPo das charakteristische Polynom bestimmen?
Korrektur: (gestrichen, da falsch)
Hier tippe ich mal auf den [mm] $\ggT$ [/mm] der drei Teil-Polynome, kann es aber nicht begründen.
Falls das stimmen sollte, dann ist der [mm] $\ggT$ [/mm] auch hier sehr einfach mit den faktorisierten Teil-Polynomen zu berechnen -- für den [mm] $\ggT$ [/mm] nimmt man dann für jeden Faktor die größte kleinste Potenz.
Ich hoffe, das hat dir einigermaßen weitergeholfen, falls nicht, melde dich doch einfach wieder!
Viele Grüße,
Marc
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Hallo!
Danke für deine Antwort!
erm, das kgV enthält die kleinste vorkommende Potenz?
und der ggT die größte?
wenn ich also zB folgendes habe:
[mm] m_{x} [/mm] = [mm] (x+1)^{3}*x^{2}
[/mm]
[mm] m_{y} [/mm] = [mm] (x+1)^{2}*x^{2}
[/mm]
[mm] m_{z} [/mm] = [mm] (x+1)^{2}*x
[/mm]
ist dann der [mm] kgV(m_{x}, m_{y}, m_{z}) [/mm] = [mm] (x+1)^{2}*x
[/mm]
und der [mm] ggT(m_{x}, m_{y}, m_{z}) [/mm] = [mm] (x+1)^{3}*x^{2} [/mm] ?
müsste das nicht andersherum sein?
wenn ich das richtig sehe ist doch
[mm] (x+1)^{2}*x [/mm] kein Vielfaches von [mm] (x+1)^{3}*x^{2}, [/mm] oder hamm mich die ganzen Matrizen heut schon so verwirrt? 
Nichtsdestotrotz: dass das MiPo das Produkt der Linearfaktoren mit der kleinsten Potenz ist, könnte ich mir sogar vorstellen.
Leider kann ich im Moment kein Beispiel angeben, bin gerade am Aufräumen und deswegen herrscht hier Chaos. Ich werd mir aber sobald ich kann das Beispiel nochmal ankucken und hier posten.
Cya und nochmals thx!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 Di 27.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Clairvoyant,
> erm, das kgV enthält die kleinste vorkommende Potenz?
> und der ggT die größte?
Sorry, das hatte ich mittlerweile verbessert...
Es ist natürlich genau andersrum.
Allerdings nehme ich meine letzte Behauptung, dass das char. Polynom der [mm] $\ggT$ [/mm] sein könnte, zurück.
Leider habe ich keine Idee, wie man das char. Polynom aus den drei Einzel-Polynomen gewinnen könnte...
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:24 Mi 28.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
War komplett falsch, leider, tut mir leid.
Liebe Grüße
Stefan
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hi nochmal!
hmm... wenn also das charakteristische Polynom das Produkt dieser Polynome ist, kann ich doch rein theoretisch aufhören, wenn das charakteristische Polynom den passenden Grad hat, oder? Soweit ich das bisher verstanden habe, muss ja das charakteristische Polynom einer n x n Matrix auch den Grad n vorweisen, richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Mi 28.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> hmm... wenn also das charakteristische Polynom das Produkt
> dieser Polynome ist, kann ich doch rein theoretisch
> aufhören, wenn das charakteristische Polynom den passenden
> Grad hat, oder?
Stimmt, sobald das daraus entstehende Polynom den maximalen Grad hat, ist es das charakteristische Polynom und du kannst aufhören.
> Soweit ich das bisher verstanden habe, muss
> ja das charakteristische Polynom einer n x n Matrix auch
> den Grad n vorweisen, richtig?
![[zustimm]](/images/smileys/zustimm.gif "[zustimm]")
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo mal wieder!
Das Aufräumen bei mir zuhause ist erfolgreich beendet und ich poste hier mal wie versprochen das Beispiel aus unserer Vorlesung:
[mm] A=\pmat{0&0&0&1&0 \\ 1&1&0&1&0 \\ 0&1&1&1&1 \\ 1&1&0&1&1 \\ 1&1&1&0&1} \in \IF_{2}^{5x5}
[/mm]
nun beginnt der werte Herr Dozent mit:
[mm] x=\vektor{1\\0\\0\\0\\0}; A*x=\vektor{0\\1\\0\\1\\1}; A^{2}*x=\vektor{1\\0\\1\\1\\0}; A^{3}*x=\vektor{1\\0\\0\\0\\0}=x
[/mm]
[mm] \Rightarrow m_{A,x}=x^{3}+1 [/mm] = [mm] (x+1)*(x^{2}+x+1)
[/mm]
[mm] y=\vektor{0\\1\\0\\0\\0}; A*y=\vektor{0\\1\\1\\1\\1}; A^{2}*y=\vektor{1\\0\\0\\1\\1}; A^{3}*y=\vektor{1\\0\\0\\1\\0}; A^{4}*y=\vektor{1\\0\\1\\0\\1}=y+A*y+A^{3}*y
[/mm]
[mm] \Rightarrow m_{A,y}=x^{4}+x^{3}+x+1=(x+1)*(x^{3}+1)=(x+1)^{2}*(x^{2}+x+1)
[/mm]
[mm] \Rightarrow m_{A}=m_{A,y}= (x+1)^{2}*(x^{2}+x+1).
[/mm]
[mm] m_{A} [/mm] ist übrigens wirklich das kgV der [mm] m_{A,*} [/mm]
Jetzt etwas, was mich immer noch ein wenig verwirrt (ich nenne das charakteristische Polynom der Einfachheit halber c):
[mm] \Rightarrow c_{A}=(x+1)^{3}*(x^{2}+x+1)
[/mm]
Verwirrend daran ist, dass der Exponent von 3 bei (x+1) für die Produkttheorie spricht, aber der Exponent des irreduziblen Polynoms in der zweiten Klammer bleibt die 1... wird das irreduzible Polynom in diesem Fall einfach aussen vor gelassen und nur noch hinten angehängt?
Aber vielleicht hat ja jemand von Euch noch eine "mathematischere" Idee... Mathematiker lösen doch selten etwas so simpel, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:05 Fr 30.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> [mm]A=\pmat{0&0&0&1&0 \\ 1&1&0&1&0 \\ 0&1&1&1&1 \\ 1&1&0&1&1 \\ 1&1&1&0&1} \in \IF_{2}^{5x5}
[/mm]
>
> nun beginnt der werte Herr Dozent mit:
> [mm]x=\vektor{1\\0\\0\\0\\0}; A*x=\vektor{0\\1\\0\\1\\1}; A^{2}*x=\vektor{1\\0\\1\\1\\0}; A^{3}*x=\vektor{1\\0\\0\\0\\0}=x
[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow m_{A,x}=x^{3}+1[/mm] = [mm](x+1)*(x^{2}+x+1)
[/mm]
>
> [mm]y=\vektor{0\\1\\0\\0\\0}; A*y=\vektor{0\\1\\1\\1\\1}; A^{2}*y=\vektor{1\\0\\0\\1\\1}; A^{3}*y=\vektor{1\\0\\0\\1\\0}; A^{4}*y=\vektor{1\\0\\1\\0\\1}=y+A*y+A^{3}*y
[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow m_{A,y}=x^{4}+x^{3}+x+1=(x+1)*(x^{3}+1)=(x+1)^{2}*(x^{2}+x+1)
[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow m_{A}=m_{A,y}= (x+1)^{2}*(x^{2}+x+1).
[/mm]
>
> [mm]m_{A}[/mm] ist übrigens wirklich das kgV der [mm]m_{A,*}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt etwas, was mich immer noch ein wenig verwirrt (ich
> nenne das charakteristische Polynom der Einfachheit halber
> c):
> [mm]\Rightarrow c_{A}=(x+1)^{3}*(x^{2}+x+1)
[/mm]
>
> Verwirrend daran ist, dass der Exponent von 3 bei (x+1) für
> die Produkttheorie spricht, aber der Exponent des
> irreduziblen Polynoms in der zweiten Klammer bleibt die
> 1...
Okay, dann ist die "Produkttheorie" eben falsch, tut mir leid. Es war ja auch nur eine intuitive Vermutung von mir, eigentlich habe ich keine Ahnung. Ich verbessere es gleich in meiner ersten Antwort. Helfen kann ich dir jetzt aber trotzdem bei dieser Aufgabe.
> wird das irreduzible Polynom in diesem Fall einfach
> aussen vor gelassen und nur noch hinten angehängt?
> Aber vielleicht hat ja jemand von Euch noch eine
> "mathematischere" Idee... Mathematiker lösen doch selten
> etwas so simpel, oder?
Okay, wir hatten:
[mm] $m_{A}(x)= (x+1)^{2}*(x^{2}+x+1)$.
[/mm]
Dies ist ein Polynom vierten Grades. weiterhin wissen wir wegen $A [mm] \in \IF_2^{5 \times 5}$, [/mm] dass [mm] $c_A$ [/mm] vom Grad $5$ sein muss und dass es die gleichen irreduziblen Faktoren wie [mm] $m_A$ [/mm] haben muss (es dürfen also keine zusätzlichen irreduziblen Faktoren auftauchen, sondern nur die alten, in eventuell höherer Potenz).
Daher kann nur $x+1$ als neuer (alter) Faktor hinzukommen, denn [mm] $x^2 [/mm] + x + 1$ würde den Grad ja um $2$ erhöhen.
Ich denke mittlerweise also, es gibt kein allgemeines Verfahren, um von den [mm] $m_{A,\*}$ [/mm] auf das charakteristische Polynom zu kommen. Das Minimalpolynom [mm] $m_A$, [/mm] da war Marcs Intuition super, ist das kleinste gemeinsame Vielfache der [mm] $m_{A,\*}$, [/mm] und dann kann man nur hoffen auf Grund von Gradüberlegungen [mm] $c_A$ [/mm] irgendwie zu bestimmen. Ich denke aber, das klappt nicht immer (lasse mich aber gerne wiederum von kompetenterer Seite aus eines Besseren belehren).
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:09 Do 29.07.2004 | | Autor: | Clairvoyant |
Hallo nochmal!
ich weiß ja, ich sollte Euch nicht zu sehr beanspruchen, aber da mein LA-Schein in greifbarer Nähe ist und ich meinem Ergebnis nicht so richtig traue (auch wenn ich es schon 3mal nachgerechnet habe), stelle ich die Aufgabe mal hier ins Forum. Vielleicht fällt jemandem ja sofort ein eklatanter Fehler o.ä. ins Auge oder jemand hat Spontan Lust, das Ganze nachzurechnen.
Wenn jemand Zugang zu einer Maple-Installation hat, könnte er für mich ja auch ganz kurz das Minimalpolynom bzw das charakteristische Polynom, das ich erhalte, überprüfen. Also:
[mm] A=\pmat{2& 1& 1& 2& 1& 1& 2 \\ 2& 2& 2& 0& 1& 1& 2 \\ 1& 0& 0& 2& 1& 1& 2 \\ 1& 0& 0& 2& 1& 1& 2 \\ 0& 2& 0& 2& 1& 0& 2 \\ 2& 0& 0& 1& 1& 1& 2\\ 2& 2& 2& 1& 2& 2& 1} \in \IF_{3}^{7x7}
[/mm]
nun beginne ich mit
[mm] x=\vektor{1\\0\\0\\0\\0\\0\\0}; y=\vektor{0\\1\\0\\0\\0\\0\\0}; z=\vektor{0\\0\\1\\0\\0\\0\\0}; u=\vektor{0\\0\\0\\1\\0\\0\\0}; v=\vektor{0\\0\\0\\0\\1\\0\\0}; w=\vektor{0\\0\\0\\0\\0\\1\\0}; t=\vektor{0\\0\\0\\0\\0\\0\\1}
[/mm]
nach anfangs besprochenem Algorithmus die einzelnen Polynome zu berechnen und erhalte:
[mm] A*x=\vektor{2\\2\\1\\1\\0\\2\\2}, A^{2}*x=\vektor{0\\1\\1\\1\\1\\2\\2}, A^{3}*x=\vektor{2\\2\\0\\0\\0\\2\\1}, A^{4}*x=\vektor{1\\0\\0\\0\\0\\2\\1}, A^{5}*x=\vektor{0\\0\\2\\2\\2\\0\\1}, A^{6}*x=\vektor{1\\2\\2\\2\\2\\0\\2}=A^{4}*x+2A^{2}*x
[/mm]
[mm] A^{7}*x=\vektor{1\\1\\2\\2\\2\\1\\0}=A^{5}*x+2A^{3}*x [/mm] (unnötig, mir ist aufgefallen, dass [mm] A^{6}*x [/mm] bereits linear abhängig ist.)
[mm] \Rightarrow [/mm] [mm] m_{A,x}=x^{7}+2x^{5}+x^{3}=x^{3}*(x^{2}+1)^{2} [/mm] [mm] m_{A,x}=x^{2}*(x^{2}+1)^{2}
[/mm]
für die übrigen Einheitsvektoren erspare ich Euch und mir mal die Teilergebnisse [mm] A^{n}*... [/mm] und gebe nur noch die Polynome an:
[mm] m_{A,y}=x^{2}*(x^{2}+1)^{2}
[/mm]
[mm] m_{A,z}=x*(x^{2}+1)^{2}
[/mm]
[mm] m_{A,u}=x*(x^{2}+1)^{2}
[/mm]
[mm] m_{A,v}=x*(x^{2}+1)
[/mm]
[mm] m_{A,w}=x^{2}*(x^{2}+1)
[/mm]
[mm] m_{A,t}=x^{2}+1
[/mm]
woraus ich dann schließe:
[mm] m_{A}=kgV(m_{A,x},...,m_{A,t})= [/mm] [mm] x^{3}*(x^{2}+1)^{2} [/mm] [mm] x^{2}*(x^{2}+1)^{2}
[/mm]
Da der Grad von [mm] m_{A} [/mm] 7 ist, also der Größe von A entspricht, müsste es doch auch das charakteristische Polynom sein... oder kann es das überhaupt sein?
Der Grad von [mm] m_{A} [/mm] ist jetzt 6, d.h. ich habe nur noch eine "freie Stelle zu besetzen", wofür das irreduzible Polynom nicht in Frage kommt, also muss das charakteristische Polynom [mm] c_{A}= x^{3}*(x^{2}+1)^{2} [/mm] sein.
Schließlich und endlich kann ich jetzt die Jordan-Normalform von A angeben:
[mm] J(A)=\pmat{0& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\0& 0& 0& 0& 1& 0& 0 \\0& 0& 0& 1& 0& 0& 0 \\0& 0& 0& 0& 0& 0& 1 \\0& 0& 0& 0& 0& 1& 0}
[/mm]
soweit richtig? Mir ist aufgefallen, dass unser Prof in den Jordanblöcken die Einsen auf die untere Nebendiagonale schreibt, nicht, wie ich es in allen Büchern bisher und bei meinen Recherchen im WWW gesehen hab, auf die obere Nebendiagonale. Ist das wichtig?
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Hallo,
> Wenn jemand Zugang zu einer Maple-Installation hat, könnte
> er für mich ja auch ganz kurz das Minimalpolynom bzw das
> charakteristische Polynom, das ich erhalte, überprüfen.
Mach ich gern.
> nun beginne ich [...] nach anfangs besprochenem Algorithmus die einzelnen
> Polynome zu berechnen und erhalte: [...]
Das hab ich nicht durchdacht.
> [mm]m_{A}=x^{2}*(x^{2}+1)^{2}[/mm]
Das Minimalpolynom stimmt.
> [...] also muss das charakteristische Polynom
> [mm]c_{A}= x^{3}*(x^{2}+1)^{2}[/mm]
> sein.
Das charakteristische Polynom stimmt ebenfalls.
> Schließlich und endlich kann ich jetzt die
> Jordan-Normalform von A angeben:
>
> [mm]J(A)=\pmat{0& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\0& 0& 0& 0& 1& 0& 0 \\0& 0& 0& 1& 0& 0& 0 \\0& 0& 0& 0& 0& 0& 1 \\0& 0& 0& 0& 0& 1& 0}
[/mm]
> soweit richtig?
Die Jordannormalform kann ich leider nicht direkt mit Maple prüfen [mm] ($\IF_3$ [/mm] geht nicht so leicht mit den Standardfunktionen.) Die einzige Unsicherheit wäre für mich, wieviele Einsen bei den linken drei Diagonal-Nullen stehen müssen. Kann man das aus dem Minimalpolynom ableiten?
> Mir ist aufgefallen, dass unser Prof in den
> Jordanblöcken die Einsen auf die untere Nebendiagonale
> schreibt, nicht, wie ich es in allen Büchern bisher und bei
> meinen Recherchen im WWW gesehen hab, auf die obere
> Nebendiagonale. Ist das wichtig?
Das wüsste ich auch gern. Du kannst ja mal das von dir gelernte mit anderen Quellen vergleichen, ob's da wesentliche Unterschiede gibt.
Gruss,
SirJective
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erstmal zu dem Jordanblock für die 0´en:
soweit ich weiß stellt die Potenz des Linearfaktors im Minimalpolynom die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts dar, und diese wiederum gibt mir die Größe des größten Teilblocks an. Da ich den Eigenwert 0 mit algebraischer Vielfachheit 3 (siehe charakteristisches Polynom) und mit geometrischer Vielfachheit 2 (MiPo) habe, ist der Block für die 0:
[mm] \pmat{0&0&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&0}
[/mm]
Schwierig wird es nur, wenn das MiPo zB für einen Eigenwert die geometrische VFH 3 und das char. Polynom die algebraische VFH 7 angibt, denn dann bleiben die restlichen 4 Stellen ungewiss. Dann muss man das wohl anders berechnen, was ich aber momentan nicht mal könnte :(
Zu den Unterschieden zwischen meinem Skript und den anderen Quellen:
der einzige Unterschied ist eigentlich die Nebendiagonale für die Einsen, wie schon gesagt, in meinem Skript die untere Nebendiagonale, für den Rest der Welt die obere Nebendiagonale :)
zB:
in unserem Skript ein Jordanblock für den Eigenwert 3 der Größe 3:
[mm] \pmat{3&0&0\\1&3&0\\0&1&3}
[/mm]
in anderen Quellen (Internet und Buch von nem Kumpel):
[mm] \pmat{3&1&0\\0&3&1\\0&0&3}
[/mm]
Mehr Unterschiede sind mir nicht aufgefallen.
Aber auf jeden Fall vielen Dank für dein Antwort :)
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