Herleitung von Ableitungen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo liebe Leute,
die Ableitung von Sinus und Cosinus haben wir im Physikunterricht bereits mitgeteilt bekommen. Vor kurzem haben wir dann auch im Matheunterricht diese Ableitungen eingeführt. Die Herleitung beschränkte sich aber nur auf Zeichnen und Anstiege "abschätzen". Aus eigenem Interesse hab ich mich dran gesetzt, und versuht diese Ableitung zu besweisen, erfolglos (bereits beim Ansatz) und habe das Internet durchwühlt. Darin enthaltene Herleitungen waren einfach zu hoch für mich. (z.B. über "d/dt sin t = lim (delta t -> 0) { sin(t + delta t) - sin t } / delta t
= lim (delta t -> 0) { sin(t) cos(delta t) + cos(1) sin(delta t) - sin t } / delta t
= lim (delta t -> 0) { sin(t) + cos(1) (delta t) - sin t } / delta t
= cos t." ). |
Ich wollte einfach mal in die Runde fragen, ob mir jemand eine Hereitung angeben UND erklären kann. Ich kann mir vorstellen, dass das nicht einfach ist, aber ich würde mich wirklich riesig freuen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Do 03.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
bitte lies' Dir zunächst folgendes durch
https://matheraum.de/read?t=33589&v=t
Erkenntnis:
[mm] $\lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h}=1$
[/mm]
(Die geometrische Lösung von Loddar sollte für Dich insbesondere von Interesse sein!)
Graphische Erkenntnis:
Die Funktion [mm] $f(x):=\frac{\sin(x)}{x}$ [/mm] ($x [mm] \not=0$) [/mm] kann mit $f(0):=1$ dort stetig auf [mm] $\IR$ [/mm] fortgesetzt werden.
[Dateianhang nicht öffentlich]
(Normalweise beweist man sowas mit der Potenzreihenentwicklung des [mm] $\sin(.)$ [/mm] oder de L'Hospital, aber letzteres wäre hier schwer, da wir dabei ja [mm] $\sin\,'(x)=\cos(x)$ [/mm] benützen müssten, was wir ja zeigen wollen.)
Nun gilt per Definitionem der Ableitung, dass wir für festes $x$ dann zeigen müssen, dass der Grenzwert [mm] $\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$ [/mm] bei $h [mm] \to [/mm] 0$ existiert.
Dabei gilt (vgl. ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Additionstheoreme) nach einem Additionstheorem ((I) [mm] $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\beta)\cos(\alpha)$)
[/mm]
[mm] $\sin(x+h)=\sin(x)\cos(h)+\sin(h)\cos(x)$, [/mm] also:
[mm] $(\*)$ $\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}=\frac{\sin(x)\cos(h)+\sin(h)\cos(x)-\sin(x)}{h}$
[/mm]
Du weißt nun schon, dass [mm] $\lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h}\cos(x)=\cos(x)*\lim_{h \to 0}\frac{\sin(h)}{h}=\cos(x)*1=\cos(x)$
[/mm]
Es reicht nun also wegen [mm] $(\*)$, [/mm] zu beweisen, dass
[mm] $\frac{\sin(x)*\cos(h)-\sin(x)}{h} \to [/mm] 0$ bei $h [mm] \to [/mm] 0$ bzw.
(II) [mm] $\left|\frac{\cos(h)-1}{h}\right| \to [/mm] 0$ bei $h [mm] \to [/mm] 0$.
(Das werden wir hinbekommen, denn irgendwer hat uns mal verraten, dass [mm] $\sin\,'(x)=\cos(x)$ [/mm] gilt.  )
(Graphische Erkenntnis:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] definierte Funktion [mm] $g(x):=\frac{\cos(x)-1}{x}$ [/mm] kann durch $g(0):=0$ stetig auf [mm] $\IR$ [/mm] fortgesetzt werden.)
Benutzt Du nun die Halbwinkelformel [mm] $2*\sin^2(r/2)=1-\cos(r)$ [/mm] für genügend kleine $|r|$, so folgt für genügend kleine $|h|$:
[mm] $\left|\frac{\cos(h)-1}{h}\right|=\frac{1-cos(h)}{|h|}=\frac{2*\sin^2(h/2)}{|h|}$
[/mm]
Zudem gilt [mm] $|\sin(h)| \le [/mm] |h|$, also auch [mm] $|\sin(h/2)| \le [/mm] |h|/2$ und daher
[mm] $\left|\frac{\cos(h)-1}{h}\right|=\frac{1-cos(h)}{|h|}=\frac{2*\sin^2(h/2)}{|h|}=\frac{|\sin(h/2)|}{|h|/2}*|\sin(h/2) |\le |\sin(h/2)|$
[/mm]
Und weil [mm] $\sin(s) \to [/mm] 0$ bei $s [mm] \to [/mm] 0$ und damit auch [mm] |\sin(h/2)| \to [/mm] 0, folgt auch [mm] $|\sin(h/2)| \to [/mm] 0$ bei $h [mm] \to [/mm] 0$. Damit ist auch (II) gezeigt.
P.S.:
Gezeigt habe ich hier:
[mm] $\sin'(x)=\cos(x)$
[/mm]
Mithilfe der Additionstheorem kann man damit sicherlich auch zeigen, dass [mm] $\cos(x)=-\,\sin(x)$ [/mm] gilt (es sollte z.B. wegen [mm] $\cos(x)=\sin((\pi/2)+x)$ [/mm] folgen).
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Dankeschön! Hab es sehr schön nachvollziehen können!
Vielen vielen Dank!
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Im Wesentlichen gibt es zwei Möglichkeiten der Ableitung:
Wenn für dich die Sinus-Funktion eine Funktion mit geometrischer Bedeutung ist (also das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypothenuse in einem rechtwinkligen Dreieck), sollte die Ableitung auch das Ergebnis einer geometrischen Betrachtung sein. Eine solche Betrachtung findest du im Anhang.
Wenn für dich die Sinus-Funktion in erster Linie eine mathematisch-algebraische Bedeutung hat (also die Berechnung eines Zahlenwertes nach einem bestimmten Schema aus einem gegebenen Argument = Winkel), solltest die Ableitung auch das Ergebnis einer algebraischen Rechnung sein. In diesem Fall nimmst du einfach die Taylorentwicklung des Sinus, leitest sie ab und erhältst die Taylorentwicklung des Kosinus. Taylorentwicklungen findest du überall im Internet.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
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