Hermite-IP m. dividierten Diff < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Betrachten Sie das folgende Hermite-Interpolationsproblem:
[mm] P(0)=0,P'(0)=f'(0),P''(0)=f''(0),P'''(0)=f'''(0),P(\pi)=f(\pi),P'(\pi)=f'(\pi)
[/mm]
a) Stellen Sie das Interpolationspolynom P(x) der Funktion f(x):=cos(2x) mittels des Algorithmus der dividierten Differenzen auf.
b) Geben Sie eine obere Schranke für den Interpolationsfehler im [mm] Intervall[0,\pi] [/mm] an. |
Hi,
ich glaub wichtig ist noch zu nennen, das wir im vorherigen Aufgabenblatt folgende Aufgabe bewiesen haben:
Gegeben Sie eine Funktion [mm] f:\IR \to \IR [/mm] sowie n+1 äquidistante Stützstellen [mm] x_i=x_0 [/mm] +ih, i=0,...,n, [mm] x_0 \in \IR [/mm] , h>0. [mm] p_n \in P_n [/mm] sei das Interpolationspolynom für f zu diesen Stützstellen, das heißt [mm] p_n(x_i)=f(x_i) [/mm] für i=0,...,n.
Für k=0,1,2,... definieren wir den Differenzenoperator [mm] \Delta^k [/mm] rekursiv durch:
[mm] \Delta^0 [/mm] f(x):=f(x), [mm] \Delat^{k+1}f(x):=\Delta^k f(x+h)+\Delta^k [/mm] f(x), x [mm] \in \IR.
[/mm]
Zeigen Sie:
a) Für k=1,...n gilt: [mm] f[x_i,...,x_{i+k}]=\bruch{1}{k!h^k}\Delta^kf(x_i), [/mm] i=0,...,n-k
b) Mit [mm] \delta:=\bruch{x-x_0}{h}, \vektor{\delta \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k!}\delta(\delta-1)...(\delta-k+1) [/mm] gilt:
[mm] p_n(x)=\summe_{k=0}^{n} \vektor{\delta \\ k}\Delta^kf(x_0)
[/mm]
Ich weiß jetzt nicht genau wo ich ansetzen soll. Ich würde die Newtonsche Interpolationsformel ansetzen und bis [mm] p_2(x) [/mm] interpolieren.
Das würde so aussehen:
[mm] p_2(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)
[/mm]
Weiter weiß ich aber nicht.
Wenn ich jetzt anfange wild umher zu substituieren, komme ich auf Stützstellen die nicht gegeben sind.
Ich könnte einfach die Formel aus dem vorherigen Übungsblatt Aufgabe b) nutzen, aber dann bräuchte ich keine dividierten Differenzen. Kann mir bitte jemand helfen?
Gruß Roy
|
|
| |
|
Hallo roydebatzen,
> Betrachten Sie das folgende Hermite-Interpolationsproblem:
>
> [mm]P(0)=0,P'(0)=f'(0),P''(0)=f''(0),P'''(0)=f'''(0),P(\pi)=f(\pi),P'(\pi)=f'(\pi)[/mm]
Muss das hier nicht so lauten:
[mm]P\left(0\right)=\blue{f}\left\blue{(}0\right\blue{)}[/mm]
> a) Stellen Sie das Interpolationspolynom P(x) der Funktion
> f(x):=cos(2x) mittels des Algorithmus der dividierten
> Differenzen auf.
> b) Geben Sie eine obere Schranke für den
> Interpolationsfehler im [mm]Intervall[0,\pi][/mm] an.
> Hi,
>
> ich glaub wichtig ist noch zu nennen, das wir im vorherigen
> Aufgabenblatt folgende Aufgabe bewiesen haben:
>
> Gegeben Sie eine Funktion [mm]f:\IR \to \IR[/mm] sowie n+1
> äquidistante Stützstellen [mm]x_i=x_0[/mm] +ih, i=0,...,n, [mm]x_0 \in \IR[/mm]
> , h>0. [mm]p_n \in P_n[/mm] sei das Interpolationspolynom für f zu
> diesen Stützstellen, das heißt [mm]p_n(x_i)=f(x_i)[/mm] für
> i=0,...,n.
> Für k=0,1,2,... definieren wir den Differenzenoperator
> [mm]\Delta^k[/mm] rekursiv durch:
> [mm]\Delta^0[/mm] f(x):=f(x), [mm]\Delat^{k+1}f(x):=\Delta^k f(x+h)+\Delta^k[/mm]
> f(x), x [mm]\in \IR.[/mm]
> Zeigen Sie:
> a) Für k=1,...n gilt:
> [mm]f[x_i,...,x_{i+k}]=\bruch{1}{k!h^k}\Delta^kf(x_i),[/mm]
> i=0,...,n-k
> b) Mit [mm]\delta:=\bruch{x-x_0}{h}, \vektor{\delta \\ k}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{k!}\delta(\delta-1)...(\delta-k+1)[/mm] gilt:
> [mm]p_n(x)=\summe_{k=0}^{n} \vektor{\delta \\ k}\Delta^kf(x_0)[/mm]
>
> Ich weiß jetzt nicht genau wo ich ansetzen soll. Ich
> würde die Newtonsche Interpolationsformel ansetzen und bis
> [mm]p_2(x)[/mm] interpolieren.
> Das würde so aussehen:
>
> [mm]p_2(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)[/mm]
>
Du hast doch hier 6 Werte gegeben,
das ergibt dann ein Polynom 5. Grades.
> Weiter weiß ich aber nicht.
> Wenn ich jetzt anfange wild umher zu substituieren, komme
> ich auf Stützstellen die nicht gegeben sind.
> Ich könnte einfach die Formel aus dem vorherigen
> Übungsblatt Aufgabe b) nutzen, aber dann bräuchte ich
> keine dividierten Differenzen. Kann mir bitte jemand
> helfen?
>
Erstelle erstmal das Schema der dividierten Differenzen.
> Gruß Roy
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hi,
es heißt tatsächlich P(0)=f(0).
Also das Schema der dividierten Differenzen ist einfach:
[mm] f[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]=\bruch{f[x_1,x_2,x_3,x_4]-f[x_0,x_1,x_2,x_3]}{x_4-x_0}=\bruch{\bruch{f[x_2,x_3,x_4]-f[x_1,x_2,x_3]}{x_4-x_1}-\bruch{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{x_3-x_0}}{x_4-x_0}=\bruch{\bruch{\bruch{f[x_3,x_4]-f[x_2,x_3]}{x_4-x_2}-\bruch{f[x_2,x_3]-f[x_1,x_2]}{x_3-x_1}}{x_4-x_1}-\bruch{\bruch{f[x_2,x_3]-f[x_1,x_2]}{x_3-x_1}-\bruch{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_1}}{x_3-x_0}}{x_4-x_0}=\bruch{\bruch{\bruch{\bruch{f(x_4)-f(x_3)}{x_4-x_3}-\bruch{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}}{x_4-x_2}-\bruch{\bruch{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}-\bruch{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}{x_3-x_1}}{x_4-x_1}-\bruch{\bruch{\bruch{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}-\bruch{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}{x_3-x_1}-\bruch{\bruch{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}-\bruch{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}}{x_2-x_1}}{x_3-x_0}}{x_4-x_0}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo roydebatzen,
> Hi,
>
> es heißt tatsächlich P(0)=f(0).
> Also das Schema der dividierten Differenzen ist einfach:
>
> [mm]f[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]=\bruch{f[x_1,x_2,x_3,x_4]-f[x_0,x_1,x_2,x_3]}{x_4-x_0}=\bruch{\bruch{f[x_2,x_3,x_4]-f[x_1,x_2,x_3]}{x_4-x_1}-\bruch{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{x_3-x_0}}{x_4-x_0}=\bruch{\bruch{\bruch{f[x_3,x_4]-f[x_2,x_3]}{x_4-x_2}-\bruch{f[x_2,x_3]-f[x_1,x_2]}{x_3-x_1}}{x_4-x_1}-\bruch{\bruch{f[x_2,x_3]-f[x_1,x_2]}{x_3-x_1}-\bruch{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_1}}{x_3-x_0}}{x_4-x_0}=\bruch{\bruch{\bruch{\bruch{f(x_4)-f(x_3)}{x_4-x_3}-\bruch{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}}{x_4-x_2}-\bruch{\bruch{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}-\bruch{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}{x_3-x_1}}{x_4-x_1}-\bruch{\bruch{\bruch{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}-\bruch{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}{x_3-x_1}-\bruch{\bruch{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}-\bruch{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}}{x_2-x_1}}{x_3-x_0}}{x_4-x_0}[/mm]
>
Das ist gerade mal der letzte Koeffizient
des Dividierten Differenzen-Schemas.
Im übrigen sind 6 Werte vorgegeben.
Daraus ergibt sich folgendes Tableau:
[mm]\begin{matrix}{x_{0}=0 & P\left(0)=f\left[x_{0}\right] \\ & & f\left[x_{0},x_{1}\right]\\ x_{1}=0 & P'\left(0)=f\left[x_{1}\right] & & f\left[x_{0},x_{1},x_{2}\right\\ & & f\left[x_{1},x_{2}\right] & & f\left[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}\right] \\ x_{2}=0 & P''\left(0)=f\left[x_{2}\right] & & f\left[x_{1},x_{2},x_{3}\right] & & f\left[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right] \\ & & f\left[x_{2},x_{3}\right] & & f\left[x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right] & & f\left[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\right]\\ x_{3}=0 & P'''\left(0)=f\left[x_{3}\right] & & f\left[x_{2},x_{3},x_{4}\right] & & f\left[x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\right]\\ & & f\left[x_{3},x_{4}\right] & & f\left[x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\right]\\ x_{4}=\pi & P\left(\pi)=f\left[x_{4}\right] & & f\left[x_{3},x_{4},x_{5}\right] \\ & & f\left[x_{4},x_{5}\right] \\ x_{5}=\pi & P'\left(\pi)=f\left[x_{5}\right]\end{matrix}[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Wow, das wußte ich gar nicht. Ich habe dieses Tableau kurz vorher im Skript gesehen, aber überhaupt keinen Zusammenhang mit dieser Aufgabe herstellen können. Ich weiß zwar immer noch nicht wie mir das bei der Aufgabe hilft, werd mich aber gleich dransetzen und damit weiterarbeiten.
Ich werde meine Lösung dann auch posten.
Vielen Dank
Roy
|
|
|
| |
|
Hallo Mathepower,
ja gut nun hab ich dieses Schema, aber was bringt mir denn das? Ich kann ja nicht die dividierten Differenzen bestimen, da beispielsweise bei:
[mm] f[x_0,x_1]=\bruch{f[x_1]-f[x_0]}{x_1-x_0}=\bruch{cos(2*0)+2sin(2*0)}{0-0}=\bruch{1+0}{0}
[/mm]
hinkommt. Und damit kommt man ja dann nicht zu Rande.
Bitte ich brauche Hilfe, geht um meine Prüfungszulassung.
|
|
|
| |
|
Hallo roydebatzen,
> Hallo Mathepower,
>
> ja gut nun hab ich dieses Schema, aber was bringt mir denn
> das? Ich kann ja nicht die dividierten Differenzen
> bestimen, da beispielsweise bei:
>
> [mm]f[x_0,x_1]=\bruch{f[x_1]-f[x_0]}{x_1-x_0}=\bruch{cos(2*0)+2sin(2*0)}{0-0}=\bruch{1+0}{0}[/mm]
>
> hinkommt. Und damit kommt man ja dann nicht zu Rande.
>
> Bitte ich brauche Hilfe, geht um meine Prüfungszulassung.
Im Eröffnungsthread schriebst Du, daß ihr eine Aufgabe aus dem
vorherigen Aufgabenblatt bewiesen habt, bei der es um
diese Berechnung der dividierten Differenzen geht.
Diese kannst Du verwenden.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
