Hermitesche Matrix, Eigenwert < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 Fr 27.02.2009 | | Autor: | daisa |
| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IZ_{>0}. [/mm] Eine Matrix A [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n, [mm] \IC) [/mm] heisst hermitesch, falls [mm] A^{T} [/mm] = [mm] \overline{A}. [/mm] Dabei ist die komplex konjugierte Matrix [mm] \overline{A} [/mm] von einer Matrix A = [mm] (a_{ij})_{1 \le i,j \le n} [/mm] die Matrix [mm] \overline{A} [/mm] := [mm] (\overline{a}_{ij})_{1 \le i,j \le n} [/mm] deren Einträge die komplex konjugierten sind von denen von A.
Zeigen Sie: Ist A [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n, [mm] \IC) [/mm] eine hermitesche Matrix, dann ist jeder Eigenwert von A reell. |
Hallo zusammen
Ich habe herausgefunden, dass sich diese Aufgabe mit dem Skalarprodukt lösen lässt. Folgendes habe ich dazu im Internet gefunden:
[mm] \lambda [/mm] ist der Eigenwert und v der Eigenvektor
[mm] \lambda [/mm] <v,v> (1)
= [mm] <\lambda [/mm] *v, v> (2)
= <Av,v> (3)
= <v, [mm] A^{H} [/mm] * v> (4)
= <v, Av> (5)
= <v, [mm] \lambda [/mm] * v> (6)
= [mm] \overline{\lambda} [/mm] <v,v> (7)
somit ist [mm] \lambda [/mm] = [mm] \overline{\lambda} [/mm] und deshalb reell.
bis und mit (3) verstehe ich die Umformungen, aber der Schritt von (3) nach (4) dafür nicht ganz. Ist das jetzt reine Definition?
von (4) nach (5): das gilt, da A = [mm] A^{H}
[/mm]
(6) ist mir wiederum klar.
von (6) nach (7): wieso ist das so?
Ansonsten ist mir klar, dass aus [mm] \lambda [/mm] = [mm] \overline{\lambda} [/mm] folgt [mm] \lambda \in \IR.
[/mm]
Vielen Dank für die Hilfe!
Lg daisa
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 Fr 27.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei n [mm]\in \IZ_{>0}.[/mm] Eine Matrix A [mm]\in[/mm] M(n [mm]\times[/mm] n, [mm]\IC)[/mm]
> heisst hermitesch, falls [mm]A^{T}[/mm] = [mm]\overline{A}.[/mm] Dabei ist
> die komplex konjugierte Matrix [mm]\overline{A}[/mm] von einer
> Matrix A = [mm](a_{ij})_{1 \le i,j \le n}[/mm] die Matrix
> [mm]\overline{A}[/mm] := [mm](\overline{a}_{ij})_{1 \le i,j \le n}[/mm] deren
> Einträge die komplex konjugierten sind von denen von A.
> Zeigen Sie: Ist A [mm]\in[/mm] M(n [mm]\times[/mm] n, [mm]\IC)[/mm] eine hermitesche
> Matrix, dann ist jeder Eigenwert von A reell.
> Hallo zusammen
>
> Ich habe herausgefunden, dass sich diese Aufgabe mit dem
> Skalarprodukt lösen lässt. Folgendes habe ich dazu im
> Internet gefunden:
> [mm]\lambda[/mm] ist der Eigenwert und v der Eigenvektor
> [mm]\lambda[/mm] <v,v> (1)
> = [mm]<\lambda[/mm] *v, v> (2)
> = <Av,v> (3)
> = <v, [mm]A^{H}[/mm] * v> (4)
> = <v, Av> (5)
> = <v, [mm]\lambda[/mm] * v> (6)
> = [mm]\overline{\lambda}[/mm] <v,v> (7)
> somit ist [mm]\lambda[/mm] = [mm]\overline{\lambda}[/mm] und deshalb reell.
>
> bis und mit (3) verstehe ich die Umformungen, aber der
> Schritt von (3) nach (4) dafür nicht ganz. Ist das jetzt
> reine Definition?
Ja, das ist die Def. von [mm] A^{H}
[/mm]
> von (4) nach (5): das gilt, da A = [mm]A^{H}[/mm]
Ja
> (6) ist mir wiederum klar.
> von (6) nach (7): wieso ist das so?
Lies Dir nochmal die Eigenschaften des Skalarproduktes durch !
Für [mm] \alpha \in \IC [/mm] ist z.B.:
[mm] <\alpha [/mm] x, y> = [mm] \alpha [/mm] <x,y> und < x, [mm] \alpha [/mm] y> = [mm] \overline{\alpha} [/mm] <x,y>
FRED
>
> Ansonsten ist mir klar, dass aus [mm]\lambda[/mm] =
> [mm]\overline{\lambda}[/mm] folgt [mm]\lambda \in \IR.[/mm]
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> Vielen Dank für die Hilfe!
> Lg daisa
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Fr 27.02.2009 | | Autor: | daisa |
Hallo Fred,
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Ich habe jedoch noch eine Frage: Wäre es auch richtig wenn man zwischen (3) und (5) <Av,v> = [mm] [/mm] = [mm] [/mm] = <v,Av> hinzufügt? So verstehe ich das Ganze besser.
lg, daisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Fr 27.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> Vielen Dank für die schnelle Antwort!
>
> Ich habe jedoch noch eine Frage: Wäre es auch richtig wenn
> man zwischen (3) und (5) <Av,v> = [mm][/mm] = [mm][/mm] =
> <v,Av> hinzufügt? So verstehe ich das Ganze besser.
Ich aber gar nicht ! Was soll denn [mm] [/mm] sein ????
FRED
>
> lg, daisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Fr 27.02.2009 | | Autor: | daisa |
oh sooorrry!! Ich habe überall das v vergessen!
<Av,v> = [mm] [/mm] = <v, [mm] A^{H}v> [/mm] = <v,Av>
 daisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Fr 27.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> oh sooorrry!! Ich habe überall das v vergessen!
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> <Av,v> = [mm][/mm] = <v, [mm]A^{H}v>[/mm] = <v,Av>
>
> daisa
Ich würde es so schreiben:
<Av,v> = [mm][/mm] = <v,Av>
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Fr 27.02.2009 | | Autor: | daisa |
Aber meine Version ist auch korrekt?
lg, daisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Fr 27.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja, aber etwas verwirrend
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:09 Fr 27.02.2009 | | Autor: | daisa |
ok danke!
lg daisa
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