Hesse-Matrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Sacha |
| Aufgabe | | Berechne die Hesse-Matrix von f: [mm] \IR_{+} [/mm] x [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] f(x,y)= 3 [mm] ln(x)-xy^{2}+2(y-x) [/mm] in allen Punkten (x,y) für welche div(f(x,y))=(0,0) gilt und bestimme jeweils die Eigenwerte. |
Wie muss ich nun diese Hesse-Matrix berechnen? Einfach jeweils 2 mal nach x und y ableiten? Doch wie sieht die Matrix schliesslich aus, wenn noch die zusätzliche Bedingung gilt? Zudem die jeweiligen Eigenwerte; kann ich da nicht einfach über das charakteristische Polynom meiner berechneten Hesse-Matrix die Eigenwerte bestimmen?
Wäre froh über jede Hilfe und danke schon im voraus für eure Mühe!!
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Hallo,
ja die Hesse-Matrix ist für Funktionen [mm] f:\IR^2\to\IR [/mm] definiert als: [mm] h(x,y)=\pmat{ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{xx} }
[/mm]
Die Eigenwerte der Matrix kannst du, wie auch in der lin.Alg., über das char. Polynom bestimmen.
Der Teil mit der Divergenz ist mir nicht ganz klar, denn div ist für Funktionen [mm] \IR^n\to\IR^{\red{n}} [/mm] definiert. Ist hier evtl. der Laplace-Operator gemeint?
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Sacha |
Nein ist wirklich der Gradient . Der Gradient der Funktion f(x,y) solle null sein.
Das verwirrt mich eben, denn die Hesse-MAtrix sei dann in allen Punkten zu berechnen, welche diese Bedingung erfülle, doch was tut das zu Sache? Darum stellte ich auch diese Frage, denn einfach ausgenommen von dieser zusätzlichen "Bedingung" finde ich die Aufgabe ziehmlich einfach.
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Ahh. Der Gradient einer skalaren Funktion ist aber etwas komplett anderes als die Divergenz eines Vektorfeldes!!
Zu berechnen ist also [mm] $\nabla [/mm] f = [mm] (f_x,f_y)$
[/mm]
Dann schaust du, in welchen Punkten dieser Null wird und setzt den Punkt in deine Hesse-Matrix ein, da du dann die Eigenwerte berechnen musst, bekommst du die Definitheit der Matrix raus.
Das ganze hat übrigens mit Extremwerten zu tun. Im 1-dim. berechnest du die Ableitung setzt diese gleich Null und ermittelst den Punkt [mm] x_0, [/mm] welchen du dann in die zweite Ableitung für die hinreichende Bedingung einsetzt.
Genauso funktioniert es hier im mehrdimensionalen. Nur deine 1.Abl. ist ein Vektor und deine zweite Ableitung eine Matrix.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Sacha |
Nun gut doch wenn ich nun diesen Gradienten berechne, wie komme ich den auf die 4 Komponenten der Matrix, wenn ich habe
[mm] \vektor{\bruch{-3}{x}-y^{2}-2 \\ -2xy+2}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
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Woher kommt das Minus bei dem Bruch oben an erster Stelle?
Um dieses Gleichungssystem zu lösen, könntest du z.B. die untere Gleichung nach x oder y auflösen und in die erste Gleichung einsetzen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Sacha |
ou sry hab bin eine zeile auf meinem notizblatt verrutscht ;) klar ist 3/x ^^ ... aber wie weiss ich denn, wenn ich die eine in die andere hineinbastle, welche komponenten das das von der matrix sind? So wie ich es nun ausgerechnet habe bekomme ich tatsächlich 2 Lösungen für x und zwei für y .. kann das sein, das nun diese Lösungen einfach je die spalten der matrix sind?
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> ou sry hab bin eine zeile auf meinem notizblatt verrutscht
> ;) klar ist 3/x ^^ ... aber wie weiss ich denn, wenn ich
> die eine in die andere hineinbastle, welche komponenten das
> das von der matrix sind?
Hallo,
ich verstehe nicht so recht, wo Dein Problem liegt.
Du mußt doch nun erstmal die Gleichung grad f(x,y)=0 lösen,
also das System
[mm] 0=\bruch{3}{x}-y^2-2
[/mm]
0=-2xy+2.
Hast Du das schon getan?
Welche Punkte erhältst Du?
Anschließend stellst Du die Hessematrix [mm] H_f(x,y) [/mm] auf.
Sie lautet?
Nun setzt Du für (x,y) die Punkte ein, die Du oben errechnet hast und untersuchst für diese Punkte die Hessematrix.
Hättesat Du oben also (1,2) und (5,6) errechnet, müßtest Du von [mm] H_f(1,2) [/mm] und von [mm] H_f(5,6) [/mm] die Eigenwerte bestimmen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Sacha |
Ok einmal bekomme ich [mm] (x,y)=(\bruch{1}{2},2) [/mm] und (x,y)=(1,1). Die Hesse-Matrix heisst ja
[mm] h(x,y)=\pmat{ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} }=\pmat{ -\bruch{3}{x^{2}} & -2y \\ -2y & -2x }
[/mm]
Also folgt
[mm] h(\bruch{1}{2},2)=\pmat{ -12 & -4 \\ -4 & -1 } [/mm] und [mm] h(1,1)=\pmat{ -3 & -2 \\ -2 & -2 }
[/mm]
Stimmt das?? (Eigenwerte berechnen ist dann wider einfach von expliziten Matrizen ;))
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> Ok einmal bekomme ich [mm](x,y)=(\bruch{1}{2},2)[/mm] und
> (x,y)=(1,1).
Hallo,
ja, so sehen meine ergebnisse auch aus.
> Die Hesse-Matrix heisst ja
> [mm]h(x,y)=\pmat{ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} }=\pmat{ -\bruch{3}{x^{2}} & -2y \\ -2y & -2x }[/mm]
Genau.
>
> Also folgt
> [mm]h(\bruch{1}{2},2)=\pmat{ -12 & -4 \\ -4 & -1 }[/mm] und
> [mm]h(1,1)=\pmat{ -3 & -2 \\ -2 & -2 }[/mm]
>
> Stimmt das??
Ja.
Gruß v. Angela
> (Eigenwerte berechnen ist dann wieder einfach
> von expliziten Matrizen ;))
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Do 23.04.2009 | | Autor: | Sacha |
Danke dir angela! ^^
MFG Sacha
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