Hesse-Matrix, Komposition Fkt. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Mi 25.06.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Seien [mm] f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} [/mm] und [mm] g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} [/mm] zweimal differenzierbare Funktionen. Zeigen Sie:
[mm] $\operatorname{Hess}(g\circ f)(x)=g''(f(x))\nabla f(x)\nabla f(x)^t+g'(f(x))\operatorname{Hess}f(x)$ [/mm] |
Hi,
ich habe eine kurze Frage zu obiger Form:
[mm] $\operatorname{Hess}(g\circ f)(x)=g''(f(x))\nabla f(x)\nabla f(x)^t+g'(f(x))\operatorname{Hess}f(x)$
[/mm]
Und zwar wollte ich mir die Formel erst einmal an einem Beispiel veranschaulichen. Dabei bin ich auf folgendes Problem gestoßen.
Ich wusste nicht wie ich $g''(f(x))$ und $g'(f(x))$ zu interpretieren habe.
Ich verkette ja [mm] $g\circ [/mm] f$ und leite dann zwei mal ab, oder leite ich $g$ zu erst ab und setze dann f ein?
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:57 Do 26.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}[/mm] und
> [mm]g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm] zweimal differenzierbare
> Funktionen. Zeigen Sie:
>
> [mm]\operatorname{Hess}(g\circ f)(x)=g''(f(x))\nabla f(x)\nabla f(x)^t+g'(f(x))\operatorname{Hess}f(x)[/mm]
>
> Hi,
>
> ich habe eine kurze Frage zu obiger Form:
>
> [mm]\operatorname{Hess}(g\circ f)(x)=g''(f(x))\nabla f(x)\nabla f(x)^t+g'(f(x))\operatorname{Hess}f(x)[/mm]
>
> Und zwar wollte ich mir die Formel erst einmal an einem
> Beispiel veranschaulichen. Dabei bin ich auf folgendes
> Problem gestoßen.
> Ich wusste nicht wie ich [mm]g''(f(x))[/mm] und [mm]g'(f(x))[/mm] zu
> interpretieren habe.
> Ich verkette ja [mm]g\circ f[/mm] und leite dann zwei mal ab, oder
> leite ich [mm]g[/mm] zu erst ab und setze dann f ein?
>
> Danke.
g'(blablablubber) bzw. g''(blablablubber) bedeutet:
berechne g' (bzw. g'') und setze dann blablablubber ein.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:43 Do 26.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Vielen Dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Do 26.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Wenn ich es an einem Beispiel durchrechne
[mm] $g(x)=x^2$
[/mm]
[mm] $f(x,y)=x^2+y^2$
[/mm]
[mm] $g\circ f(x,y)=x^4+2x^2y^2+y^4$
[/mm]
$grad [mm] g\circ f(x,y)\begin{pmatrix} 4x^3+4xy^2\\4y^3+4x^2y\end{pmatrix}$
[/mm]
$Hess [mm] f(x,y)\begin{pmatrix} 2&0\\0&2\end{pmatrix}$
[/mm]
$g''(f(x,y))=2$
[mm] $g'(f(x,y))=2(x^2+y^2)$
[/mm]
Und
$Hess [mm] g\circ f(x,y)\begin{pmatrix} 12x^2+4y^2&8xy\\8xy&12y^2+4x^2\end{pmatrix}$
[/mm]
Wenn ich nun dies ausrechne, erhalte ich das aber nicht. Wo liegt der Fehler?
[mm] $2\cdot \begin{pmatrix}2x\\2y\end{pmatrix}(2x,2y)+(2x^2,2y^2) \begin{pmatrix} 2&0\\0&2\end{pmatrix}$
[/mm]
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Hallo YuSul,
> Wenn ich es an einem Beispiel durchrechne
>
> [mm]g(x)=x^2[/mm]
>
> [mm]f(x,y)=x^2+y^2[/mm]
>
> [mm]g\circ f(x,y)=x^4+2x^2y^2+y^4[/mm]
>
> [mm]grad g\circ f(x,y)\begin{pmatrix} 4x^3+4xy^2\\4y^3+4x^2y\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]Hess f(x,y)\begin{pmatrix} 2&0\\0&2\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]g''(f(x,y))=2[/mm]
>
> [mm]g'(f(x,y))=2(x^2+y^2)[/mm]
>
> Und
>
> [mm]Hess g\circ f(x,y)\begin{pmatrix} 12x^2+4y^2&8xy\\8xy&12y^2+4x^2\end{pmatrix}[/mm]
>
> Wenn ich nun dies ausrechne, erhalte ich das aber nicht. Wo
> liegt der Fehler?
>
> [mm]2\cdot \begin{pmatrix}2x\\2y\end{pmatrix}(2x,2y)+(2x^2,2y^2) \begin{pmatrix} 2&0\\0&2\end{pmatrix}[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm]2\cdot \begin{pmatrix}2x\\2y\end{pmatrix}(2x,2y)+(2x^2\blue{+}
2y^2) \begin{pmatrix} 2&0\\0&2\end{pmatrix}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Do 26.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Stimmt, da habe ich mich vertippt, mit dem , und dem +, aber diese Addition macht doch keinen Sinn.
Wenn ich den ersten Summanden ausmultipliziere, erhalte ich eine "Zahl" und rechts steht eine Matrix...
Oder irre ich?
Und wie kann ich diese Form beweisen?
Indem ich einfach strikt mit der Kettenregel
[mm] $g\circ [/mm] f$
differenziere?
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Hallo YuSul,
> Stimmt, da habe ich mich vertippt, mit dem , und dem +,
> aber diese Addition macht doch keinen Sinn.
> Wenn ich den ersten Summanden ausmultipliziere, erhalte
> ich eine "Zahl" und rechts steht eine Matrix...
> Oder irre ich?
>
Da irrst Du Dich.
> Und wie kann ich diese Form beweisen?
> Indem ich einfach strikt mit der Kettenregel
>
> [mm]g\circ f[/mm]
>
> differenziere?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Do 26.06.2014 | | Autor: | YuSul |
> Hier muss es doch lauten:
>
> [mm]2\cdot \begin{pmatrix}2x\\2y\end{pmatrix}(2x,2y)+(2x^2\blue{+}
2y^2) \begin{pmatrix} 2&0\\0&2\end{pmatrix}[/mm]
Wie multipliziere ich denn
[mm] $2\cdot \begin{pmatrix}2x\\2y\end{pmatrix}(2x,2y)$
[/mm]
Müssten hier nicht die Vektoren vertauscht sein, damit ich multiplizieren kann?
So wie es da steht kann man es doch nicht multiplizieren?
(2x1)*(1x2)
Für das ableiten mit der Kettenregel bräuchte ich deine Hilfe. Ich habe
[mm] $g\circ [/mm] f(x)$ wobei [mm] $x\in\mathbb{R}^n$ [/mm] also ein Spaltenvektor mit n Einträgen ist. Die erste Ableitung nach Kettenregel wäre dann ja der Gradient mit ebenfalls n Einträgen, aber ich weiß nicht genau wie ich diesen hinschreiben muss.
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Hallo YuSul,
> > Hier muss es doch lauten:
> >
> > [mm]2\cdot \begin{pmatrix}2x\\2y\end{pmatrix}(2x,2y)+(2x^2\blue{+}
2y^2) \begin{pmatrix} 2&0\\0&2\end{pmatrix}[/mm]
>
> Wie multipliziere ich denn
>
> [mm]2\cdot \begin{pmatrix}2x\\2y\end{pmatrix}(2x,2y)[/mm]
>
> Müssten hier nicht die Vektoren vertauscht sein, damit ich
> multiplizieren kann?
Nein.
> So wie es da steht kann man es doch nicht multiplizieren?
> (2x1)*(1x2)
>
Nein.
Das wird dann so multipliziert:
[mm]2\cdot \blue{\begin{pmatrix}2x\\2y\end{pmatrix}}\green{(2x,2y)}=2*\begin{pmatrix}{\blue{2x}*{\green{2x} & \blue{2x}*{\green{2y} \\ \blue{2y}*{\green{2x} & \blue{2y}*{\green{2y}}\end{pmatrix}[/mm]
>
> Für das ableiten mit der Kettenregel bräuchte ich deine
> Hilfe. Ich habe
>
> [mm]g\circ f(x)[/mm] wobei [mm]x\in\mathbb{R}^n[/mm] also ein Spaltenvektor
> mit n Einträgen ist. Die erste Ableitung nach Kettenregel
> wäre dann ja der Gradient mit ebenfalls n Einträgen, aber
> ich weiß nicht genau wie ich diesen hinschreiben muss.
Das ist doch dann: [mm]g'\left(\ f\left(x\right) \ \right) *\nabla{f\left(x\right)}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Do 26.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Ist mir da irgendeine Multiplikationsregel entgangen?
Braucht man hier eine andere als die "normale" Matrizenmultiplikation?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Do 26.06.2014 | | Autor: | chrisno |
Ja.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Do 26.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Es wäre natürlich auch hilfreich zu wissen, welche...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Do 26.06.2014 | | Autor: | Herby |
Hi,
ich glaube nicht, dass dir etwas entgangen ist. Das ist das ganz normale 'Falk-Schema'
Für eine (n,m)x(m,k) Matrix gilt (n,k)
Bei deiner Aufgabe: (2,1)x(1,2) -> (2,2)
allg: [mm] C=A*B=(c_{ik})
[/mm]
[mm] $c_{ik}=a_{i1}b_{1k}+a_{i2}b_{2k}+a_{i3}a_{3k}+\ [/mm] ...\ [mm] +a_{in}b_{nk}=\sum_{j=1}^{n}{a_{ij}a_{jk}}$
[/mm]
Alles klar?
LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 Do 26.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Ja... ich bin heute leider sehr unkonzentriert. :(
Jetzt ist alles klar.
Nun zur Herleitung der "Formel" für die Hesse-Matrix von [mm] $g\circ [/mm] f(x)$
Der Gradient würde ja so aussehen:
$grad\ [mm] g\circ [/mm] f(x)\ =\ [mm] \begin{pmatrix}\frac{\partial g\circ f}{\partial x_1}\\\vdots\\ \frac{\partial g\circ f}{\partial x_n}\end{pmatrix}$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:22 Do 26.06.2014 | | Autor: | Herby |
Salut,
ich hab' grad deine Formel editiert, passt das so?
LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:27 Do 26.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Von welcher Mitteilung bzw. Formel sprichst du genau?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:32 Do 26.06.2014 | | Autor: | Herby |
Hallo,
von dieser hier: https://matheraum.de/read?i=1026703
Da war ein 'editier-fehler' drin (\end{pmatrix} hatte gefehlt), und meiner Meinung nach hätte noch ein \frac rein müssen (das habe ich nun bereits ergänzt)???
Stimmt's jetzt so?
LG
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Fr 27.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ja... ich bin heute leider sehr unkonzentriert. :(
> Jetzt ist alles klar.
>
> Nun zur Herleitung der "Formel" für die Hesse-Matrix von
> [mm]g\circ f(x)[/mm]
>
> Der Gradient würde ja so aussehen:
>
> [mm]grad\ g\circ f(x)\ =\ \begin{pmatrix}\frac{\partial g\circ f}{\partial x_1}\\\vdots\\ \frac{\partial g\circ f}{\partial x_n}\end{pmatrix}[/mm]
Ja, so sieht der aus.
FRED
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