Hesse Determinante < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Fr 20.06.2008 | | Autor: | Anu |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion: z(x,y)= [mm] x^2 [/mm] - xy + 2x + [mm] y^2 [/mm] + 8y
Untersuchen Sie die Funktion mittels Hesse Determinante auf die Existenz von Extremwerten. |
Hallo,
bin bei der Aufgabe zunächst wie folgt vorgegangen:
Hab erstmal die Ableitungen gebildet...
[mm] z'(x)=2x-y+2+y^2+8y
[/mm]
z''(x)= [mm] 2-y+2+y^2+8y= 4+7y+y^2
[/mm]
[mm] z'(y)=x^2-x+2x+2y+8
[/mm]
z''(y)= [mm] x^2+2x+2+8=10+2x+x^2
[/mm]
so jetzt weiß ich aber leider nicht, wie ich z''(x,y) berechne...
Weiß einer von euch weiter?
Danke im voaraus schon mal für eure Antwort.
Gruß Anu
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> Gegeben ist die Funktion: z(x,y)= [mm]x^2[/mm] - xy + 2x + [mm]y^2[/mm] + 8y
> Untersuchen Sie die Funktion mittels Hesse Determinante
> auf die Existenz von Extremwerten.
> Hallo,
>
> bin bei der Aufgabe zunächst wie folgt vorgegangen:
>
> Hab erstmal die Ableitungen gebildet...
>
> [mm]z'(x)=2x-y+2+y^2+8y[/mm]
Hallo,
Du meinst damit sicher die partielle Ableitung nach x, [mm] z_x(x,y).
[/mm]
Diese hast Du nicht richtig berechnet. Wenn Du partiell nach x ableitest, so ist y ja als Konstante zu betrachten.
Ebenso bei der partiellen Ableitung nach y, [mm] z_y(x,y).
[/mm]
Für die Hessematrix brauchst Du später noch [mm] z_x_x(x,y), [/mm] also die Ableitung von [mm] z_x [/mm] nach x,
[mm] z_x_y(x,y), [/mm] also die Ableitung von [mm] z_x [/mm] nach y,
[mm] z_y_x(x,y), [/mm] also die Ableitung von [mm] z_y [/mm] nach x,
[mm] z_y_y(x,y), [/mm] also die Ableitung von [mm] z_y [/mm] nach y.
Zunächst einmal sind aber die kritischen Punkte zu errechnen, indem Du die (x,y) berechnest, für welche [mm] z_x(x,y)=0 [/mm] und [mm] z_y(x,y=0.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Anu |
Hallo Angela,
würde dann die partielle Abletung nach x wie folgt aussehen?
Zx(x,y)= [mm] x^2+x+2y+8
[/mm]
wenn ja dann weiß ich soweit wie es weiter geht.
Danke!
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Hallo Anu,
> Hallo Angela,
>
> würde dann die partielle Abletung nach x wie folgt
> aussehen?
>
> Zx(x,y)= [mm]x^2+x+2y+8[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wie Angela schon schrieb, musst du - wenn du partiell nach x ableitest - das y als Konstante betrachten, stelle dir vor, dort stünde statt y eine reelle Konstante, zB. 5
Du hast [mm] $z(x,y)=x^2-xy+2x+y^2+8y$
[/mm]
Das willst du partiell nach x ableiten, denken wir uns das y als 5
Dann hast du [mm] $x^2-x\cdot{}\blue{5}+2x+\blue{5}^2+8\cdot{}\blue{5}$
[/mm]
Das nach x ableiten ergibt: [mm] $2x-\blue{5}+2+0+0=2x-\blue{5}+2$
[/mm]
Versuch's nun mal statt mit der [mm] \blue{5} [/mm] mit y
Dann mache mal analog die partielle Ableitung nach y, da musst du dann das x wie eine Konstante behandeln
>
> wenn ja dann weiß ich soweit wie es weiter geht.
>
> Danke!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Anu |
Hallo Schachuzipus =)
> Wie Angela schon schrieb, musst du - wenn du partiell nach
> x ableitest - das y als Konstante betrachten, stelle dir
> vor, dort stünde statt y eine reelle Konstante, zB. 5
>
> Du hast [mm]z(x,y)=x^2-xy+2x+y^2+8y[/mm]
>
> Das willst du partiell nach x ableiten, denken wir uns das
> y als 5
>
> Dann hast du
> [mm]x^2-x\cdot{}\blue{5}+2x+\blue{5}^2+8\cdot{}\blue{5}[/mm]
>
> Das nach x ableiten ergibt:
> [mm]2x-\blue{5}+2+0+0=2x-\blue{5}+2[/mm]
Ok aber was ich jetzt nicht verstehe, ist dass dein Ergebnis so aussieht:
Zx(x,y)= 2x-y+2+0+0
aber warum setzt du [mm] y^2 [/mm] abgeleitet =0??
Würde das denn nicht so aussehen:
Zx(x,y)= [mm] 2x-y+2+y^2+8y= 2x+y^2+8y+2
[/mm]
weil y ja unsere Konstante ist, wenn ich partiell nach x ableitet und in der Funktion, ist -xy abgeleitet = -y .... so müsste doch [mm] y^2 [/mm] unverändert aus der Funktion hervorgehen?? Oder??
Lg Anu
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Hallo Anu,
was ist denn eine Konstante abgeleitet?
Mit y ist selbstverständlich auch [mm] y^2 [/mm] eine Konstante, wenn du nach x ableitest.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Anu |
Ja das heißt doch das ich richtig abgeleitet habe oder nicht?
Z(x,y)= [mm] x^2-xy+2x+y^2+8y
[/mm]
=> Zx(x,y)= [mm] 2x+y^2+8y+2 [/mm]
partiell nach x abgeleitet mit y als konstante
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> Ja das heißt doch das ich richtig abgeleitet habe oder
> nicht?
>
> Z(x,y)= [mm]x^2-xy+2x+y^2+8y[/mm]
>
> => Zx(x,y)= [mm]2x+y^2+8y+2[/mm]
>
> partiell nach x abgeleitet mit y als konstante
Hallo,
nein, das ist nicht richtig.
wir machen jetzt mal eine kleine Vorübung:
leite mal
[mm] h(x):=x^2-x*7+2x+7^2+8*7
[/mm]
nach x ab.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Anu |
Ok =)
das wäre dann h(x)= 2x-7+2
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Anu |
Ok ich hab schon verstanden^^
=> Zx(x,y)= 2x-x+2= x+2
Dank dir!!!
Gruß Anu
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> Ok ich hab schon verstanden^^
>
> => Zx(x,y)= 2x-x+2= x+2
Noch nicht so ganz.
z(x,y)= $ [mm] x^2 [/mm] $ - xy + 2x + $ [mm] y^2 [/mm] $ + 8y
==> [mm] z_x(x,y)= [/mm] 2x-y+2
Gruß v. Angela
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> Ok =)
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> das wäre dann h(x)= 2x-7+2
Hallo,
ja, genau.
Und die konstanten Summanden fallen weg.
Beim partiellen Differenzieren ist y² z.B. ein konstanter Summand, er wird also beim Ableiten nach x zu 0.
Gruß v. Angela
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