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Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hallo
angenommen man hat eine Matrix (mit einem Parameter a) die so aussieht (hab die Klammer aussenrum weggelassen soll aber eine 3 - 3 Matrix darstellen):
8 4 2
C = 4 2 1
2 1 a
mit a Element der reellen Zahlen
Für welche a ist die Matrix C positiv definit, negativ definit, positiv semidefinit, negativ semidefinit, bzw. indefinit?
Kann man das mit den Hauptunterdeterminanten lösen ?
also in dem man bestimmt:
1 - 1 Unterdeterminante: =8 ; =2 ; =a (Diagonale)
2 - 2 Unterdeterminante: =0 ; =8*a-4; =2*a-1
3 - 3 Unterdeterminante: =0
Jetzt hab ich aber Probleme nachdem ich diese Determinanten berechnet habe, diese Ergebnisse zu interpretieren,
Was nützen mir die 1 - 1 Unterdeterminanten , bzw was sagt es aus wenn alle 1 - 1 Determinanten größer 0, gleich 0, kleiner 0, eine gößer null, eine kleiner 0 ist und ebenso die 2 - und 3 - Unterdeterminanten.
Hab mal gehört, dass wenn eine Matrix auf der Hauptdiagonalen negativ ist, sie auch indefinit ist, Stimmt das?
Also ich bräuchte mal eine Beschreibung was bei diesem Verfahren (nur mit den Unterdeterminanten) ausschlaggebend ist. Muss halt wissen wie ich die Ergebnisse interpretieren kann.
vorab schon mal vielen Dank für eine Antwort
Mfg Andy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:59 Di 14.09.2004 | | Autor: | felixs |
hallo andy
also erstmal zu definitheit:
'positiv definit' ist aequivalent zu 'alle eigenwerte positiv', negativ definit entsprechend. 'pos. semidefinit' aequivalent zu 'alle eigenwerte positiv oder 0' (negativ genauso). indefinit waere positiv und negative eigenwerte...
du kannst jetzt eigentlich die nullstellen des charakterist. polynoms ausrechnen und schaun fuer welche $a$ die nullstellen entsprechend verteilt sind.
was du da mit unterdeterminanten versucht kommt mir ein wenig seltsam vor, erinnert mich aber entfernt an das hurwitz-kriterium (meinst du das?)....
also wenn du keine lust auf polynome hast kannst du das folgendermassen anwenden (funktioniert nur bei _symmetrischen_ matrizen...):
A: sind alle teildeterminanten positiv, dann ist auch die matrix positiv definit.
B: sind alle teildeterminanten der negativen matrix (alle eintraege $ [mm] \cdot [/mm] (-1) $ ) positiv, dann ist die matrix negativ definit.
tauchen auch nullen auf, dann entsprechend semidefinit. und funktioniert weder A noch B, dann ist das indefinit. [EDIT] stimmt so nicht. tauchen nullen auf, ist keine aussage moeglich (hier war ich doch etwas zu 'optimistisch') :| [/EDIT]
mit teildeterminanten meine ich die determinanten der teilmatrizen die entstehen wenn du von oben links ein quadrat rausschneidest (auf alle moeglichen weisen eben...)
hoffe das klaert einiges. wenn du noch probleme hast kannich auch mal versuchen das vorzurechnen :)
--felix
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Hi Felix,
so weit hab ich es verstanden, Problem ist nur wir haben das mit den Eigenwerten noch nicht gemacht (kommt aber sicher noch), blos schreib ich da bald ne Klausur und weiss net ob ich Eigenwerte benutzen darf (schätze nicht), also bleibt mir nur Hurwitz - Kriterium und quadratische Ergänzung übrig (wir haben bisher auch nur symmetrische Matrizen gemacht):
wenn ich Hurwitz - Krit. auf mein Beispiel anwende sieht das doch so aus:
1-1 Unterdeterminante links oben beginnend:
ist =8
und 2-2 Unt.:
ist doch 8*2-2*2 = 0
und 3-3 Unterdeterminante (nach Sarrus Regel) lautet:
16*a+8+8-8-8-16*a=0
demnach wär doch die Determinante positiv semidefinit für alle a, da die Determinanten ja auch für alle a größer 0 sind und zudem unabhängig von a.
Hab hier aber eine Lösung die lautet dass die Matrix niemals positiv definit, niemals negativ definit, positiv semidefinit für a>= 0,5 , niemals negativ semidefinit und indefinit für a < 0,5 ist.
Diese Lösung soll angeblich rauskommen, wenn man alle Hauptunterdeterminanten bildet (wie ich es schon in der ersten Nachricht gemacht habe). Nach Hurwitz hab ich aber immer positiv semidefinit rausbekommen woran liegt das und ist das nun falsch oder richtig?
Warum widersprechen sich die Lösungen?
Mfg Andy
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Di 14.09.2004 | | Autor: | choosy |
Nur nebenbei, es muss heissen : 8*2-4*4
soweit ich das hurwitz kriterium kenne funktioniert das ausschliesslich fuer positive definitheit. und deine rechnungen waren richtig, die hauptabschnittsdeterminanten sind
8, 0 und 0. Damit ist nach hurwitz keine aussage moeglich.
du kannst nur pruefen ob alle eigenwerte positiv sind, oder die definition nachrechnen, d.h.
matrix A ist positiv definit, wenn $(Ax,x)$ (also das skalarprodukt von Ax mit x) $>0$ ist fuer alle vektoren [mm] $x\neq [/mm] 0$, usw.
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