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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:22 Mi 16.01.2013 | | Autor: | IHomerI |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für jede der folgenden Funktionen, ob sie in [mm] \IR^{2} [/mm] konvex, konkav oder weder konvex noch konkav ist.
[mm] f(x_{1},x_{2})=-x_{1}^{4}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-2\*x_{1}\*x_{2} [/mm] |
Hallo ihr Lieben,
also ich habe erstmal die partiellen Ableitungen gebildet.
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x_{1}}=-4\*x_{1}^{3}-2\*x_{1}-2\*x_{2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x_{2}}=-2\*x_{2}-2\*x_{1}
[/mm]
Mein Gradient lautet dann: [mm] \vektor{-4\*x_{1}^{3}-2\*x_{1}-2\*x_{2} \\ -2\*x_{2}-2\*x_{1}}
[/mm]
Jup und jetzt hab weiß ich nicht weiter. Ich weiß einfach nicht wie ich mit dem [mm] x_{1}^{3} [/mm] und [mm] 2\*x_{1} [/mm] umgehen soll, also wie ich das eintrage.
Also wird das jetzt durch das [mm] x_{1}^{3} [/mm] eine 3x3 Matrix oder wurschtelt man das zusammen? 3x3 geht ja eigentlich nicht. Müsste doch 2x2 sein.
Würde mich freuen, wenn mir wer weiterhilft. Danke im Voraus. Ich hoffe auch, dass ichs ins richtige Forum eingeordnet habe.
Greets
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo IHomerI,
> Bestimmen Sie für jede der folgenden Funktionen, ob sie in
> [mm]\IR^{2}[/mm] konvex, konkav oder weder konvex noch konkav ist.
>
> [mm]f(x_{1},x_{2})=-x_{1}^{4}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-2\*x_{1}\*x_{2}[/mm]
>
> Hallo ihr Lieben,
>
> also ich habe erstmal die partiellen Ableitungen gebildet.
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_{1}}=-4\*x_{1}^{3}-2\*x_{1}-2\*x_{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_{2}}=-2\*x_{2}-2\*x_{1}[/mm]
>
> Mein Gradient lautet dann:
> [mm]\vektor{-4\*x_{1}^{3}-2\*x_{1}-2\*x_{2} \\ -2\*x_{2}-2\*x_{1}}[/mm]
>
> Jup und jetzt hab weiß ich nicht weiter. Ich weiß einfach
> nicht wie ich mit dem [mm]x_{1}^{3}[/mm] und [mm]2\*x_{1}[/mm] umgehen soll,
> also wie ich das eintrage.
>
Leite die erste Komponente des Gradienten nach [mm] $x_1$ [/mm] und nach [mm] $x_2$ [/mm] partiell ab. Diese beiden Ausdrücke bilden die erste Zeile der Hessematrix. Und dann das ganze nochmal mit der zweiten Komponente. Dies gibt die zweite Zeile der Hessematrix.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Mi 16.01.2013 | | Autor: | IHomerI |
Dabei kommt dann das raus. Richtig?
[mm] \pmat{ -12\*x_{1}^{2}-2 & -2 \\ -2 & -2 }
[/mm]
Eine weitere Frage habe ich jedoch noch. Gilt das immer?
Ich meine bei einfachen Gradienten. z.B.
Gradient = [mm] \vektor{-2\*x_{1}+x_{2} \\ -2\*x_{2}+x_{1}}
[/mm]
sah meine Hessematrix so aus:
H= [mm] \pmat{ -2 & 1 \\ 1 & -2 }
[/mm]
Hier hatte ich nur ein mal partiell abgeleitet. Oder mus ich das immer solange machen bis es [mm] x_{1} [/mm] nur mit einer Potenz gibt?
Wäre nett, wenn du mir darauf auch nochmal antworten würdest. Danke im Voraus.
Greets
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 Do 17.01.2013 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Dabei kommt dann das raus. Richtig?
>
> [mm]\pmat{ -12\*x_{1}^{2}-2 & -2 \\
-2 & -2 }[/mm]
korrekt.
> Eine weitere Frage habe ich jedoch noch. Gilt das immer?
> Ich meine bei einfachen Gradienten. z.B.
>
> Gradient = [mm]\vektor{-2\*x_{1}+x_{2} \\
-2\*x_{2}+x_{1}}[/mm]
>
> sah meine Hessematrix so aus:
>
> H= [mm]\pmat{ -2 & 1 \\
1 & -2 }[/mm]
Das stimmt auch!
> Hier hatte ich nur ein mal partiell abgeleitet.
Ja, aber nur, weil ja bereits der Gradient gegeben war.
> Oder mus
> ich das immer solange machen bis es [mm]x_{1}[/mm] nur mit einer
> Potenz gibt.
Nein. Hilft da evtl. schon der Beitrag auf ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia? Wenn dann noch Unklarheiten sind, einfach noch mal konkret nachfragen.
> Wäre nett, wenn du mir darauf auch nochmal antworten
> würdest.
> Danke im Voraus.
> Greets
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Fr 18.01.2013 | | Autor: | IHomerI |
Hallo,
erstmal vielen Dank. Durch euch ist mir die Erstellung einer Hessematrix gut verdeutlicht worden.
jetzt habe ich die Hessematrix [mm] H=\pmat{ -12*x_{1}^{2}-2 & -2 \\ -2 & -2 }
[/mm]
aufgestellt.
Und möchte ich gucken, ob die Matrix positiv oder negativ definit ist, bzw. semidefinit.
Mir ist bekannt wie ich die Definitheit bestimmen kann, wenn ich in der Hessematrix nur zahlen vorfinde (Haupt-unterdeterminanten). Wie mache ich das jedoch mit dem x² oder auch bei einem einfachen x.
Wäre nett, wenn mir da wer nochmal helfen könnte. Mir ist der Umgang mit der Hessematrix noch nicht so geläufig. Danke im Voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo IHomerI!
> Hallo,
>
> erstmal vielen Dank. Durch euch ist mir die Erstellung
> einer Hessematrix gut verdeutlicht worden.
>
> jetzt habe ich die Hessematrix [mm]H=\pmat{ -12*x_{1}^{2}-2 & -2 \\
-2 & -2 }[/mm]
>
> aufgestellt.
>
> Und möchte ich gucken, ob die Matrix positiv oder negativ
> definit ist, bzw. semidefinit.
> Mir ist bekannt wie ich die Definitheit bestimmen kann,
> wenn ich in der Hessematrix nur zahlen vorfinde
> (Haupt-unterdeterminanten). Wie mache ich das jedoch mit
> dem x² oder auch bei einem einfachen x.
>
> Wäre nett, wenn mir da wer nochmal helfen könnte. Mir ist
> der Umgang mit der Hessematrix noch nicht so geläufig.
> Danke im Voraus!
Das [mm]x_1^2[/mm] stört hier ja kaum, denn [mm]x_1^2\ge 0[/mm]. Berechne also [mm]x^tAx[/mm] und forme um. Bilde dabei soweit möglich Quadrate!
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Fr 18.01.2013 | | Autor: | IHomerI |
Hi,
also diese Antwort hilft mir nicht weiter. Ich verstehe sie nicht. Sorry.
Wenn ich jetzt die Hauptunterdeterminanten berechnen möchte habe ich:
[mm] A_{1}=12\cdot{}x_{1}^{2}-2
[/mm]
und
[mm] A_{2}=12\cdot{}x_{1}^{2}-2\*(-2)-(-2)\*(-2)
[/mm]
[mm] A_{2}=12\cdot{}x_{1}^{2}-2\*(-2)-4
[/mm]
Soll ich jetzt einfach gleich null setzen und nach x auflösen oder wie war das gemeint?
Wäre nett wenn du mir nochmal weiterhelfen würdest. Danke im Voraus:)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Fr 18.01.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal!
> Hi,
>
> also diese Antwort hilft mir nicht weiter. Ich verstehe sie
> nicht. Sorry.
>
> Wenn ich jetzt die Hauptunterdeterminanten berechnen
> möchte habe ich:
>
> [mm]A_{1}=\red{-}12\cdot{}x_{1}^{2}-2[/mm]
Da hast du ein Minuszeichen vergessen.
> und
>
> [mm]A_{2}=12\cdot{}x_{1}^{2}-2\*(-2)-(-2)\*(-2)[/mm]
> [mm]A_{2}=12\cdot{}x_{1}^{2}-2\*(-2)-4[/mm]
Da ist gleich mehreres schief gelaufen. Da fehlt wieder das Minuszeichen und Klammern:
[mm] $A_2=(-12x_1^2-2)\cdot [/mm] (-2)-4$
> Soll ich jetzt einfach gleich null setzen und nach x
> auflösen oder wie war das gemeint?
> Wäre nett wenn du mir nochmal weiterhelfen würdest.
> Danke im Voraus:)
Nein, du musst schauen, welche Vorzeichen [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$ [/mm] haben!
[mm] $A_1=-12x_1^2+2=-2(6x_1^2+1)$
[/mm]
[mm] $A_2=24x_1^2$
[/mm]
Bestimme also die Vorzeichen (hängen die von [mm] $x_1$ [/mm] ab?) und wende den entsprechenden Satz über die Definitheit von A an.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Fr 18.01.2013 | | Autor: | IHomerI |
Hi,
vielen lieben Dank  Glaube soweit habe ich es verstanden.
Eine kleine Fragen hätte ich dann aber doch noch:
Angenommen ich hätte dort kein x² sondern ein einfaches x stehen:
In diesem Fall kann ich mir ja nicht sicher sein was x ist und kenne auch nicht das Vorzeichen. Gebe ich dann einfach Definitionsbreiche an und sagen in diesem Bereich ist x Konkav und in diesem nicht ... ?
Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Fr 18.01.2013 | | Autor: | IHomerI |
Ok,
ich sehe, dass die Matrix negativ definit ist. Und laut dem Hinweiß von dir weiß ich jetzt das es für Semidefinitheit kein Hauptminorenkriterium gibt.
Das habe ich jedoch noch nicht ganz verstanden:
Dachte Semidefinit gibt es, wenn man statt < und > ein [mm] \le [/mm] oder ein [mm] \ge [/mm] verwendet?
(Wenn ich jetzt wie gesagt ein x dort stehen hätte statt einem x² und ich mir nicht sicher sein könnte das der Term nicht evtl Null ist, müsste es dann nicht auch eine semidefinit geben?)
Danke für die Mühe
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