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Hi leutz!
Wie kann man durch die Hessesche Normalform den Abstand berechnen?
Hat man denn nicht, wenn man das Skalarprodukt in der Summe ausschreibt, zuviele Variablen (Bsp: <x, n> mit n = normalvektor, x = gesucht - wie kommt man so auf x??).
thx & lg
sonnenblumale
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Naja, du rechnst ja so:
[mm] $(\vec x-\vec a)*\vec [/mm] n=0$
wobei n schon normiert sei.
[mm] $\vec x*\vec n-\vec a*\vec [/mm] n=0$
Jetzt ist
[mm] $\vec a*\vec n=|a|*|n|*\cos\phi=|a|*\cos\phi$
[/mm]
Wenn du mal drüber nachdenkst, ist das exakt die senkrechte projektion des Vektors [mm] \vec{a} [/mm] auf den Vekor [mm] \vec{n}
[/mm]
Denk dran, [mm] \vec{n} [/mm] zeigt ja senkrecht auf die Ebene, die kürzeste Entfernung liegt also auch in seiner Richtung
Die Projektion von [mm] \vec{a} [/mm] auf [mm] \vec{n} [/mm] besagt nun genau, lang der Vektor [mm] \vec{a} [/mm] in Richtung [mm] \vec{n} [/mm] ist. Und das ist nunmal der Abstand $d$ der Ebene!
Schaust du dir nun den linken Teil der Rechnung zusammen mit dem d an:
[mm] $\vec x*\vec [/mm] n-d=0$
bedeutet auch das jetzt, daß zur Ebene JEDER Punkt gehört, der in Richtung [mm] $\vec [/mm] n$ den Abstand d vom ursprung hat.
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Vielen, lieben Dank!
Hab nie kapiert, dass ich damit eigentlich die Mannigfaltigkeit beschreiben will, und der Abstand der Mannigfaltigkeit zum parrallelen Unterraum das Hilfsmittel dazu ist.
Aber jetzt hab ich's gecheckt :)
thx a lot!
lg
sonnenblumale
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