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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:08 Mi 25.03.2015 | | Autor: | Marcel |
| Aufgabe | Hallo,
im Heuser, Analysis 1 (14. Auflage) steht auf Seite 135 die interessante Aufgabe
3.c):
[mm] $\sum_{\nu=0}^{n-1}y_{\nu}=\sum_{k=1}^{n}{n \choose k}\Delta^{k-1}y_0$ [/mm] |
Ich hoffe, jemand hat das Lehrbuch zur Hand, denn andernfalls muss ich hier
einiges an Vorgeplänkel dazuschreiben.
Was ich mich halt gefragt habe: Hat jemand einen Idee, wie man diese
Formel elegant beweisen kann?
Meine erste Idee war es, die Formel (17.6)
[mm] $\Delta^k y_0=\sum_{\nu=0}^k (-1)^{\nu}{k \choose \nu}y_{k-v}$
[/mm]
zu verwenden. Dann kommt man allerdings zu einer Gleichung, bei der man
für die Koeffizienten vor den [mm] $y_m$ [/mm] nachrechnen muss, dass diese $=1$ sind:
1. [mm] $\sum_{m=1}^n [/mm] {n [mm] \choose m}(-1)^{m-1}=1$
[/mm]
ist zu zeigen:
[mm] $0=(1-1)^n=\sum_{m=0}^n [/mm] {n [mm] \choose m}(-1)^m$
[/mm]
liefert auch
[mm] $0=-0=\sum_{m=0}^n [/mm] {n [mm] \choose m}(-1)^{m+1}=\sum_{m=0}^n [/mm] {n [mm] \choose m}(-1)^{m-1}$,
[/mm]
also ist
$0={n [mm] \choose 0}*(-1)^{-1}+\sum_{m=1}^n [/mm] {n [mm] \choose m}(-1)^{m-1}$
[/mm]
woraus die gewünschte Gleichheit folgt.
Danach kommt dann aber sowas wie
[mm] $\sum_{k=2}^n [/mm] {n [mm] \choose k}(-1)^k*(k-1) \;\stackrel{!}{=}\;1$
[/mm]
etc. pp.
Daher finde ich diesen Weg ungünstig (wenngleich es sicher auch interessante
Gleichungen zu entdecken gibt). Zumal ich jetzt nicht sehe, dass ich eine
schöne allgemeine Formel dafür finde, dass diese Summen, die vor den
[mm] $y_m$ [/mm] stehen, immer 1 sein müssen.
Was ich vielleicht gleich noch probieren werde, ist die Formel (17.7)
[mm] $\sum_{\nu=0}^{k-1}{k \choose \nu}\Delta^{\nu}y_0=y_k-\Delta^k y_0$.
[/mm]
Interessant ist natürlich auch
[mm] $\sum_{m=0}^{n-1}y_m=1*(y_0-y_1)+2*(y_1-y_2)+3*(y_2-y_3)+...+(n-1)*(y_{n-2}-y_{n-1})+n*y_{n-1}$,
[/mm]
also
[mm] $\sum_{m=0}^{n-1}y_m=\left(\sum_{k=1}^{n-1} k*(y_{k-1}-y_k)\right)+n*y_{n-1}$
[/mm]
Vielleicht kann man damit auch was anfangen?
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
ich habe Heuser jetzt nicht vorliegen, würde aber eine Induktion basierend auf (17.7) über n vorschlagen.
Mit der Formel
[mm] $\vektor{n+1\\k} [/mm] = [mm] \vektor{n\\k} [/mm] + [mm] \vektor{n\\k-1}$
[/mm]
gilt:
[mm] $\sum_{k=1}^{n+1}\vektor{n+1\\k}\Delta^{k-1}y_0 [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{n}\vektor{n\\k} \Delta^{k-1}y_0 [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{n+1}\vektor{n\\k-1}\Delta^{k-1}y_0$
[/mm]
Der erste Teil kann mit Induktionsvoraussetzung behandelt werden, der zweite mit (17.7).
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:21 Di 31.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
> Hallo Marcel,
>
> ich habe Heuser jetzt nicht vorliegen, würde aber eine
> Induktion basierend auf (17.7) über n vorschlagen.
> Mit der Formel
>
> [mm]\vektor{n+1\\k} = \vektor{n\\k} + \vektor{n\\k-1}[/mm]
>
> gilt:
>
> [mm]\sum_{k=1}^{n+1}\vektor{n+1\\k}\Delta^{k-1}y_0 = \sum_{k=1}^{n}\vektor{n\\k} \Delta^{k-1}y_0 + \sum_{k=1}^{n+1}\vektor{n\\k-1}\Delta^{k-1}y_0[/mm]
>
> Der erste Teil kann mit Induktionsvoraussetzung behandelt
> werden, der zweite mit (17.7).
gute Idee, Danke. Ich habe erst heute mittag versucht, das nochmal selbst
zu rechnen; wollte es dabei allerdings ohne Induktion machen. Momentan
ist's mir erstmal wichtig, diese (einfache) Formel zu beweisen, danach grüble
ich mal drüber, ob das auch (jedenfalls indirekt) ohne Induktion geht.
Danke! 
P.S. Klappt genau so, wie Du es sagtest.
Gruß,
Marcel
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