Hilbertmatrix < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
Hat denn hier sonst keiner Numerik-Fragen? Ich komme mir vor, als wäre ich die Einzige...
Ich soll zeigen, dass die Hilbertmatrix [mm] H=(\bruch{1}{i+j-1})_{i,j=1,...,k+1} [/mm] positiv definit ist.
Hinweis: Betrachte das Integral [mm] ||p||_{L^2 ((0,1),\IR)}^2, [/mm] wobei das wohl so definiert ist:
[mm] ||p||_{L^2 ((0,1),\IR)}^2 [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{|p(t)|^2dt}
[/mm]
Ich weiß zwar, was positiv definit bedeutet, nicht aber, wie man das zeigt. Jemand hat mir schon als Tipp ein sogenanntes "Determinantekriterium" gegeben, aber dafür braucht man den Tipp wohl nicht.
Ich habe keine Ahnung, wo man den Tipp einsetzen könnte...
Und was hat überhaupt das p mit dieser Matrix zu tun???
Hat jemand eine Idee?
Viele Grüße
Bastiane
![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Hat denn hier sonst keiner Numerik-Fragen? Ich komme mir
> vor, als wäre ich die Einzige...
Und ich komme mir so vor, als wäre ich der einzige, der hier antwortet, sobald Christian (mathemaduenn) mal nicht da ist. :-(
> Ich soll zeigen, dass die Hilbertmatrix
> [mm]H=(\bruch{1}{i+j-1})_{i,j=1,...,k+1}[/mm] positiv definit ist.
> Hinweis: Betrachte das Integral [mm]||p||_{L^2 ((0,1),\IR)}^2,[/mm]
> wobei das wohl so definiert ist:
> [mm]||p||_{L^2 ((0,1),\IR)}^2[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{1}{|p(t)|^2dt}
[/mm]
Die Aufgabe ist mit dem Tipp wirklich sehr einfach. (Ohne Tipp wäre ich aber auch drauf gekommen, denke ich mal.) Wir betrachten auf [mm] $L^2((0,1),\IR)$ [/mm] das folgende Skalarprodukt:
[mm] $\langle [/mm] x(t),y(t) [mm] \rangle [/mm] := [mm] \int\limits_0^1 x(t)y(t)\, [/mm] dt$.
Weiterhin betrachten wir den Unterraum [mm] $\Pi_k$ [/mm] der Polynomfunktionen auf $[0,1]$ vom Grad [mm] $\le [/mm] k$ mit der Basis
[mm] $x_1(t)=1$,
[/mm]
[mm] $x_2(t)=t$,
[/mm]
[mm] $\vdots$
[/mm]
[mm] $x_k(t) [/mm] = [mm] t^{k-1}$,
[/mm]
[mm] $x_{k+1}(t) [/mm] = [mm] t^k$.
[/mm]
Jetzt ist die Hilbertmatrix $H$ einfach die Gramsche Matrix bezüglich dieses Skalarproduktes und der genannten Basis und damit automatisch positiv definit, denn
[mm] $H_{ij} [/mm] = [mm] \langle x_i(t),x_j(t) \rangle [/mm] = [mm] \int\limits_0^1 t^{i-1} \cdot t^{j-1}\, [/mm] dt = [mm] \int\limits_0^1 t^{i+j-2}\, [/mm] dt = [mm] \frac{1}{i+j-1}$.
[/mm]
So, ich gehe jetzt gleich nach Hause. Pinsel das einfach so ab, es stimmt schon. 
Vielleicht macht die letzte Numerik-Aufgabe zur Abwechslung ja mal jemand anderes...
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:28 Di 08.11.2011 | | Autor: | stffn |
Hallo,
das Thema ist zwar schon n paar jährchen alt, aber ich wollt nochmal fragen, ob man dass auch anders zeigen kann, z.B. mit dem Kriterium der Hauptabschnittsdeterminante?
Und ich verstehe di eErklärung auch ehrlich gesagt nicht.
Vielleicht kann mir dann noch jemand helfen.
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Do 10.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
