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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Do 21.05.2009 | | Autor: | Torquato |
| Aufgabe | Es sei (V, <,>) ein unitärer Vektorraum und [mm] {v_1, ...., v_r} [/mm] eine Menge paarweise orthogonaler Vektoren der Länge 1 in V.
(1) { [mm] v_1, [/mm] ...., [mm] v_r} [/mm] ist eine Basis von V.
(2) Ist v [mm] \in [/mm] V mit <v, [mm] v_i> [/mm] = 0 für alle i [mm] \in [/mm] {1, ..., r}, so gilt v = 0.
Folgern Sie aus Aussage 2 die Aussage 1! |
Hallo!
Zunächst habe ich mir überlegt, daß die lineare Unabhängigkeit ja klar ist, da die Vektoren paarweise orthogonal sind.
Bliebe die Eigenschaft eines Erzeugendensystems. Ich glaube, die Eindeutigkeit könnte man ganz kanonisch zeigen, indem man 2 Darstellungen voneinander abzieht und über die lineare Unabhängigkeit die Gleichheit der Koeffizienten folgert, aber wie sieht es mit der Existenz aus?
Kann ich einfach versuchen zu zeigen, daß für alle v [mm] \in [/mm] V gilt v = <v, [mm] v_1> [/mm] * [mm] v_1 [/mm] * .... * <v, [mm] v_r> [/mm] * [mm] v_r [/mm] ?
Kann ich diese Darstellung einfach so hinschreiben, über v = 0 ?
Wäre für jede Hilfe dankbar!
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> Es sei (V, <,>) ein unitärer Vektorraum und [mm]{v_1, ...., v_r}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> eine Menge paarweise orthogonaler Vektoren der Länge 1 in
> V.
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> (1) { [mm]v_1,[/mm] ...., [mm]v_r}[/mm] ist eine Basis von V.
> (2) Ist v [mm]\in[/mm] V mit <v, [mm]v_i>[/mm] = 0 für alle i [mm]\in[/mm] {1, ...,
> r}, so gilt v = 0.
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> Folgern Sie aus Aussage 2 die Aussage 1!
> Hallo!
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> Zunächst habe ich mir überlegt, daß die lineare
> Unabhängigkeit ja klar ist, da die Vektoren paarweise
> orthogonal sind.
Hallo,
wenn das in der Vorlesung o.ä. noch nicht gezeigt wurde, mußt Du das vorrechnen.
Ich würde jetzt weitermachen, indem ich annehme, daß die [mm] v_i [/mm] keine Basis sind.
Dann findet man ja einen Vektor v, so daß [mm] (v_1,...,v_r, [/mm] v) linear unabhängig ist.
Mit Gram-Schmidt kannst Du orthogonalisieren. Ergebnis?
Und weiter?
Gruß v. Angela
I
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Hallo!
Wie hast du den gezeigt das die linear unabhängig sind?
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> Hallo!
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> Wie hast du den gezeigt das die linear unabhängig sind?
Hallo,
was mußt Du denn zeigen?
Multiplizieren dann die Gleichung mit [mm] v_i. [/mm] i=1,...,r.
Gruß v. Angela
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