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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Balsam |
| Aufgabe | Ein festes Element p [mm] \in \IR² [/mm] ist gegeben und werde Zentrum genannt.
Durch
p( x,y [mm] )=\begin{cases} || ( x-y ) ||_{2}, & \mbox{falls } \exists c \in \IR : x-p = c( y- p ) \\ ||x-p||_{2} + || y-p||_{2}, & \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
wird eine Funktion p: [mm] \IR{n} [/mm] x [mm] \IR{n} \to [0,\infty) [/mm] definiert. |
Ich weiß, dass ich diese 3 Eigenschaften zeigen muss:
1. d(x,y) = 0 [mm] \gdw [/mm] x=y
2. d(x,y) = d(y,x)
3.d(x,z) [mm] \le [/mm] d(x,y) + d(y,z)
Aber es bereitet mir Schwierigkeiten.
Wie bringe ich die Definition mit ein?
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Hallo Balsam!
> Ein festes Element p [mm]\in \IR²[/mm] ist gegeben und werde
> Zentrum genannt.
> Durch
>
> p( x,y [mm])=\begin{cases} || ( x-y ) ||_{2}, & \mbox{falls } \exists c \in \IR : x-p = c( y- p ) \\ ||x-p||_{2} + || y-p||_{2}, & \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
>
> wird eine Funktion p: [mm]\IR{n}[/mm] x [mm]\IR{n} \to [0,\infty)[/mm]
> definiert.
> Ich weiß, dass ich diese 3 Eigenschaften zeigen muss:
>
> 1. d(x,y) = 0 [mm]\gdw[/mm] x=y
>
> 2. d(x,y) = d(y,x)
>
> 3.d(x,z) [mm]\le[/mm] d(x,y) + d(y,z)
Du sollst zeigen, dass diese Eigenschaften für $p$ (und nicht $d$) gelten!
Also einfach einsetzen!
>
> Aber es bereitet mir Schwierigkeiten.
> Wie bringe ich die Definition mit ein?
>
Diese Metrik kann man sich sehr gut veranschaulichen: Man kann nur 'direkt'
von $x$ nach $y$ gelangen, wenn $x,y,p$ auf einer Geraden liegen, sonst muss man
immer den 'Umweg' über das Zentrum $p$ 'gehen'.
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Balsam |
Ich weiss nicht wie ich das mit der fallweisen Definition mache.
Wie forme ich das denn um, um die 1.Eigenschaft zu zeigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Mo 24.01.2011 | | Autor: | fred97 |
1. Wir nehmen an, es sei x=y, dann ist mit c=1: x-p=c(y-p), folglich ist
p(x,y)= [mm] ||x-y||_2=0.
[/mm]
2. Sei umgekehrt p(x,y)=0. Dann ist [mm] ||x-y||_2=0 [/mm] oder [mm] ||x-p||_2+||y-p||_2= [/mm] 0, also ist
x=y oder x=p=y,
in jedem Fall also x=y
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Balsam |
Danke Fred!
Ich versuche es mal mit der 2.Eigenschaft
ich habe mir überlegt:
[mm] ||x-y||_{2} [/mm] = [mm] \wurzel{(x_{1}-x_{2})^{2} + (y_{2}-x_{1})^{2}}
[/mm]
und für c=1 [mm] \Rightarrow [/mm] x-p = y-p
Ich kann die Eigenschaft irgedwie nicht umsetzen -.-
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Hallo Balsam!
> Danke Fred!
>
> Ich versuche es mal mit der 2.Eigenschaft
> ich habe mir überlegt:
> [mm]||x-y||_{2}[/mm] = [mm]\wurzel{(x_{1}-x_{2})^{2} + (y_{2}-x_{1})^{2}}[/mm]
>
> und für c=1 [mm]\Rightarrow[/mm] x-p = y-p
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
>
> Ich kann die Eigenschaft irgedwie nicht umsetzen -.-
Da [mm] $\|x-y\|_{2} [/mm] = [mm] \|y-x\|_{2}$ [/mm] ist offensichtlich auch $p(x,y) = p(y,x)$!
LG mathfunnel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Mo 24.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu mathfunnel:
$ [mm] ||x-p||_{2} [/mm] + || [mm] y-p||_{2}= ||y-p||_{2} [/mm] + || [mm] x-p||_{2}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Balsam |
Danke!
Das hatte ich mir auch überlegt, aber weil das so einfach ist, dachte ich man müsse es durch Umformungen zeigen.
Bei der 3 habe ich mir 3 Fälle angeguckt:
x,y und z liegen aud einer Geraden, die durch 0 verläuft.
1.Fall
x und y liegen auf einer Geraden, z nicht
p(x,y) +p(y,z) = |x-y|+|z| [mm] \le [/mm] |x-y+y|+|z|= |x|+|z|
[mm] \Rightarrow [/mm] p(x,z)
so richtig ?
2.Fall
z und x liege auf einer Geraden, y nicht
3.Fall
Keine 2 Punkte leiegen auf einer Geraden
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:42 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Balsam |
Kann mir bitte jemand behilflich sein?
Ich komme echt nicht weiter :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mi 26.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:09 Di 25.01.2011 | | Autor: | Walde |
Hi Balsam,
ich glaube, das mit der Fallunterscheidung ist keine schlechte Idee, aber
> Danke!
> Das hatte ich mir auch überlegt, aber weil das so einfach
> ist, dachte ich man müsse es durch Umformungen zeigen.
>
> Bei der 3 habe ich mir 3 Fälle angeguckt:
> x,y und z liegen aud einer Geraden, die durch 0
> verläuft.
wieso unterscheidest du, ob die Gerade auf der x und y liegen durch 0 läuft? Ob sie durch p läuft ist doch hier interessant.
>
> 1.Fall
> x und y liegen auf einer Geraden, z nicht
Nicht so gut Formuliert. x und y liegen immer auf einer Geraden
>
> p(x,y) +p(y,z) = |x-y|+|z| [mm]\le[/mm] |x-y+y|+|z|= |x|+|z|
> [mm]\Rightarrow[/mm] p(x,z)
>
> so richtig ?
Äh, du sollst doch [mm] $p(x,z)\le [/mm] p(x,y) +p(y,z)$ zeigen. Also anders herum.
>
>
> 2.Fall
> z und x liege auf einer Geraden, y nicht
>
> 3.Fall
> Keine 2 Punkte leiegen auf einer Geraden
>
Ich sag mal
1.Fall:
x und z liegen nicht auf einer Geraden mit p
x und y liegen nicht auf einer Geraden mit p
y und z liegen nicht auf einer Geraden mit p
[mm] p(x,z)=||x-p||+||z-p||=||x-p+y-p-(y-p)||+||z-p||\le||x-p||+||y-p||+||y-p||+||z-p||=p(x,y)+p(y,z)
[/mm]
2.Fall:
x und z liegen nicht auf einer Geraden mit p
x und y liegen auf einer Geraden mit p
y und z liegen nicht auf einer Geraden mit p
[mm] p(x,z)=||x-p||+||z-p||=||x-y+y-p||+||z-p||\le||x-y||+||y-p||+||z-p||=p(x,y)+p(y,z)
[/mm]
usw...du musst insgesamt 8 Fälle abklappern. Ich weiss nicht, ob es einfacher/eleganter geht, aber so sollte es zumindest gehen. Du fügst immer eine Null so ein, dass du nach Anwendung der Dreiecksungleichung das je nach Fall gewünschte Ergebnis erhältst. Ich hoffe, ich konnte helfen.
Edit: Anzahl der Fälle korrigiert
LG walde
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> Ein festes Element p [mm]\in \IR²[/mm] ist gegeben und werde
> Zentrum genannt.
> Durch
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> p( x,y [mm])=\begin{cases} || ( x-y ) ||_{2}, & \mbox{falls } \exists c \in \IR : x-p = c( y- p ) \\ ||x-p||_{2} + || y-p||_{2}, & \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
>
> wird eine Funktion p: [mm]\IR{n}[/mm] x [mm]\IR{n} \to [0,\infty)[/mm]
> definiert.
Hallo zusammen,
es war fast zu erwarten, dass diese Aufgabenstellung
zuallererst zu begrifflichen Schwierigkeiten führen würde.
Meine Frage an den Autor der Aufgabe: warum um Himmels
Willen müssen der vorgegebene Punkt und die dadurch festgelegte
Abstandsfunktion unbedingt mit dem gleichen Buchstaben
p bezeichnet werden ?? (Im Alphabet gibt es immerhin
noch einige weitere, um solche dummen Fallen zu vermeiden)
LG Al
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