Hilfe bei Aufgabe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Mi 07.02.2007 | | Autor: | Docy |
| Aufgabe | Sei R kommutativer Ring mit 1 und S der Ring RxR mit komponentenweiser Addition und Multiplikation. Ferner sei a [mm] \in [/mm] S ein Element mit der Eigenschaft [mm] a^2=a. [/mm] Wir betrachten die Abbildung
f: S [mm] \to [/mm] <a>
mit f(s)=s*a für alle s [mm] \in [/mm] S.
a) Was ist die 1 in S?
b) Zeigen Sie, dass <a> mit der induzierten Addition und Multiplikation ein Ring mit 1 ist.
c) Zeigen Sie, dass f Ringhomomorphismus ist.
d) Für welche a ist f injektiv, für welche nicht? |
Hallo Leute,
kann mir bitte jemand bei der obigen Aufgabe helfen?
Also zu a) habe ich mir überlegt, dass da S= RxR und R Ring mit [mm] 1_R, [/mm] dass deshalb [mm] 1_S [/mm] = [mm] (1_R, 1_R) [/mm] sein sollte. Zu der b) fällt mir leider nix ein. Bei der c) denke ich, dass für x,y [mm] \in [/mm] S gilt:
f(x+y)= (x+y)*a = x*a+y*a=f(x)+f(y) wegen dem Distributivgesetz in S. Und
f(x*y)=x*y*a=x*y*a*a = x*a*y*a=f(x)*f(y), da S ja auch kommutativ sein muss.
Also bei der d) weiß ich überhaupt nicht weiter, habe mir überlegt, dass wenn [mm] s_1=a [/mm] und [mm] s_2=1_S, [/mm] dann ist [mm] f(s_1)=f(s_2), [/mm] und die Abbildung ist nicht injektiv.
Danke schonmal im Vorraus
Gruß
Docy
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 Do 08.02.2007 | | Autor: | felixf |
Hi Docy!
> Sei R kommutativer Ring mit 1 und S der Ring RxR mit
> komponentenweiser Addition und Multiplikation. Ferner sei a
> [mm]\in[/mm] S ein Element mit der Eigenschaft [mm]a^2=a.[/mm] Wir betrachten
> die Abbildung
>
> f: S [mm]\to[/mm] <a>
>
> mit f(s)=s*a für alle s [mm]\in[/mm] S.
>
> a) Was ist die 1 in S?
> b) Zeigen Sie, dass <a> mit der induzierten Addition und
> Multiplikation ein Ring mit 1 ist.
> c) Zeigen Sie, dass f Ringhomomorphismus ist.
> d) Für welche a ist f injektiv, für welche nicht?
> Hallo Leute,
> kann mir bitte jemand bei der obigen Aufgabe helfen?
> Also zu a) habe ich mir überlegt, dass da S= RxR und R
> Ring mit [mm]1_R,[/mm] dass deshalb [mm]1_S[/mm] = [mm](1_R, 1_R)[/mm] sein sollte.
Ja, das stimmt.
> Zu
> der b) fällt mir leider nix ein.
Da [mm] $\langle [/mm] a [mm] \rangle$ [/mm] ein Ideal ist, ist es schonmal bzgl. der Addition und Multiplikation abgeschlossen. Damit ist es schonmal ein kommutativer Ring. Du musst nur noch zeigen, dass er auch ein Einselement hat. Versuch es doch mal mit $a = [mm] 1_R \cdot [/mm] a$ 
> Bei der c) denke ich, dass
> für x,y [mm]\in[/mm] S gilt:
> f(x+y)= (x+y)*a = x*a+y*a=f(x)+f(y) wegen dem
> Distributivgesetz in S. Und
> f(x*y)=x*y*a=x*y*a*a = x*a*y*a=f(x)*f(y), da S ja auch
> kommutativ sein muss.
Genau.
> Also bei der d) weiß ich überhaupt nicht weiter, habe mir
> überlegt, dass wenn [mm]s_1=a[/mm] und [mm]s_2=1_S,[/mm] dann ist
> [mm]f(s_1)=f(s_2),[/mm] und die Abbildung ist nicht injektiv.
...es sei denn, wenn [mm] $s_1 [/mm] = [mm] s_2$ [/mm] ist. Aber was ist [mm] $\langle [/mm] a [mm] \rangle$ [/mm] dann? Und wie sieht $f$ dann aus?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Do 08.02.2007 | | Autor: | felixf |
Hi Docy,
> ich habe da mal eine Frage:
> Um zu zeigen, dass <a> ein Einselement besitzt, sagt man:
> a=a*a. Nach den Kürzungsregeln wäre [mm]1_S=a,[/mm] aber ich bin mir
> nicht sicher, ob man die hier anwenden darf.
die Kuerzungsregeln gelten nur in nullteilerfreien Ringen! Und so einen hast du hier nicht (es sei denn $R$ ist der Nullring), da ein Produkt von zwei Ringen (die nicht grad Nullringe sind) immer Nullteiler besitzt, naemlich z.B. $(0, 1)$ und $(1, 0)$.
> Wenn [mm]1_S=a[/mm] ist, dann ist ja f injektiv, weil [mm]s_1=s_2.[/mm] Und
> außerdem wäre wegen [mm]f(s)=s*a=s*1_S=s[/mm] für alle s [mm]\in[/mm] S und
> [mm]S*\subset[/mm] <a> (weil <a> Ideal) damit <a>=S, was wiederum
> dazu führt, dass wir eine identische Abbildung f: S [mm]\to[/mm] S :
> s [mm]\mapsto[/mm] s erhalten.
> Stimmt das alles?
Genau.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Fr 09.02.2007 | | Autor: | Docy |
Hi felixf,
kannst du mir vielleicht noch sagen, wie ich zeigen kann, dass [mm] 1_S=a [/mm] ist? Da komm ich leider nicht sehr weit.
Gruß
Docy
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Sa 10.02.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Docy,
> kannst du mir vielleicht noch sagen, wie ich zeigen kann,
> dass [mm]1_S=a[/mm] ist? Da komm ich leider nicht sehr weit.
das kannst du nur dann zeigen, wenn $f$ injektiv ist. Andernfalls ist naemlich $a [mm] \neq 1_S$. [/mm] (Zum Beispiel koennte ja $a = (0, 1)$ sein oder $a = (1, 0)$, oder $a = (0, 0)$.)
LG Felix
|
|
|
|
