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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Do 09.09.2004 | | Autor: | blubli89 |
Hallo,
ich benötige Hilfe bei einem Beweis.
1. Die Differenz der Potenz zweier Zahlen , entspricht dem Produkt zwischen ihrer Summe und Differenz.
Also : [mm] a^2-b^2 [/mm] = (a+b)*(a-b)
hier lässt sich einfach beweisen , das die Aussage stimmt , der zweite Teil der Gleichung lässt sich noch kürzen
=> (a+b)*(a-b) => [mm] a^2-ab+ba-b^2 [/mm] => [mm] a^2-b^2
[/mm]
Ein Beweis fehlt mir noch für die folgende Aussage :
Das Produkt zweier Zahlen entspricht der Hälfte der Summe potenziert , abzüglich der Hälfte der Differenz potenziert.
Also : a*b = [mm] (a+b/2)^2 [/mm] - [mm] (a-b/2)^2
[/mm]
Beispiel : 7*5 = [mm] (7+5/2)^2 [/mm] - [mm] (7-5/2)^2
[/mm]
: 7*5 = [mm] (12/2)^2 [/mm] - [mm] (2/2)^2
[/mm]
: 7*5 = [mm] 6^2 [/mm] - [mm] 1^2
[/mm]
: 7*5 = 36 - 1
Ich weiss das diese Aussage stimmt , bin aber nicht gut im umformen und kann sie deshalb nicht beweisen . Wer kann helfen ?
Freundliche Grüsse Gerold
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Do 09.09.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo bubli!
> 1. Die Differenz der Potenz zweier Zahlen , entspricht dem
> Produkt zwischen ihrer Summe und Differenz.
>
> Also : [mm]a^2-b^2[/mm] = (a+b)*(a-b)
>
> hier lässt sich einfach beweisen , das die Aussage stimmt ,
> der zweite Teil der Gleichung lässt sich noch kürzen
>
> => (a+b)*(a-b) => [mm]a^2-ab+ba-b^2[/mm] => [mm]a^2-b^2
[/mm]
Richtig! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Hier hätte man auch direkt sagen können, dass dies eben die 3. Binomische Formel ist (oder kennst du die nicht?).
> Ein Beweis fehlt mir noch für die folgende Aussage :
> Das Produkt zweier Zahlen entspricht der Hälfte der Summe
> potenziert , abzüglich der Hälfte der Differenz
> potenziert.
>
> Also : a*b = [mm](a+b/2)^2[/mm] - [mm](a-b/2)^2
[/mm]
Sehr guter Ansatz! ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
Du solltest nur auf die Schreibweise achten.
Wenn man $a+b/2$ schreibt, meint man: $a + [mm] \frac{b}{2}$. [/mm] Wenn du [mm] $\frac{a+b}{2}$ [/mm] schreiben willst, benutzt du entweder unser Formelsystem (das wäre am besten!  ) oder aber du musst Klammern setzen : $(a+b)/2$.
Wir wollen also zeigen:
[mm] $\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 [/mm] - [mm] \left( \frac{a-b}{2} \right)^2 [/mm] = a [mm] \cdot [/mm] b$.
Ich fange mal an, du machst es dann zu Ende. Okay?
Es gilt allgemein: [mm] $\left(\frac{x}{y}\right)^n [/mm] = [mm] \frac{x^n}{y^n}$, [/mm] also für $x=a+b$, $y=2$ und $n=2$:
(1) [mm] $\left( \frac{a+b}{2}\right)^2 [/mm] = [mm] \frac{(a+b)^2}{2^2} [/mm] = [mm] \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}$.
[/mm]
Ebenso folgt mit der gleichen Potenzregel für $x=a-b$, $y=2$ und $n=2$:
(2) [mm] $\left( \frac{a-b}{2}\right)^2 [/mm] = [mm] \frac{(a-b)^2}{2^2} [/mm] = [mm] \frac{a^2 - 2ab + b^2}{4}$.
[/mm]
Nun schreiben wir:
[mm] $\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 [/mm] - [mm] \left( \frac{a-b}{2} \right)^2$
[/mm]
[mm] $\stackrel{(1),\, (2)}{=} \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} [/mm] - [mm] \frac{a^2 - 2ab + b^2}{4}$.
[/mm]
Wie geht es nun zu Ende? Versuche es doch mal und schreibe deinen Rechenweg zur Kontrolle bitte hier rein.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Do 09.09.2004 | | Autor: | blubli89 |
Wie geht es nun zu Ende? Versuche es doch mal und schreibe deinen Rechenweg zur Kontrolle bitte hier rein.
Liebe Grüße
Julius
Hallo Julius,
Entschuldigung erstmal für den Klammerfehler, ich dachte der Editor stellt es automatisch um.
Es hat ein bißchen gedauert , aber so müsste es gehen :
[mm] (a^2+2ab+b^2)/4 [/mm] - [mm] (a^2-2ab+b^2)/4
[/mm]
= [mm] [(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)]/4
[/mm]
[mm] =(a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2)/4
[/mm]
=(4ab)/4
=a*b
Stimmt es so?
Liebe Grüsse und vielen Dank Gerold
P.S. : Den 3. binomischen Satz kenne ich nicht, ich betreibe Mathematik nur als Hobby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 Do 09.09.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Gerold, hallo julius!
> 1. Die Differenz der Potenz zweier Zahlen , entspricht dem
> Produkt zwischen ihrer Summe und Differenz.
>
> Also : [mm]a^2-b^2[/mm] = (a+b)*(a-b)
Das ist wahrscheinlich mit der Aufgabenstellung gemeint, aber warum ist die Potenz einer Zahl ausgerechnet [mm] $a^2$?
[/mm]
Ich finde, dann sollte in der Aufgabenstellung stehen "Die Differenz der zweiten Potenzen zweier Zahlen" oder "Die Differenz der Quadrate zweite Zahlen", weil sonst der Ansatz lauten müßte: [mm]a^n-b^n = (a+b)*(a-b)[/mm], und da gibt es nichts zu beweisen, da die Gleichung für allemeinges n nicht gilt.
Naja, bin wahrscheinlich nur zu pingelig
Viele Grüße,
Marc
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