Hinreichende Bedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Mi 20.08.2014 | | Autor: | Joghurt |
| Aufgabe | Aufgabe 2.1: (notwendige Bedingung f¨ur station¨are Stellen)
Bestimmen Sie station¨are Stellen f¨ur die folgenden Funktionen von zwei
Ver¨anderlichen:
1. f(x, y) = x2 + 2y2 − 4x
2. f(x, y) = x3 − x2 − y2 − 4 − x
3. f(x, y) = x3 + y3 − 9xy
Aufgabe 2.2: (hinreichende Bedingung f¨ur station¨are Stellen)
Bestimmen Sie f¨ur die Funktionen aus Aufgabe 2.1 die Art der station¨aren
Stellen mit dem hinreichenden Kriterium. |
Ich hänge gerade bei 2.2. Ich habe jetzt die partiellen Ableitungen fxx=2 fxy=0 fyy=4 und fxxfyy-f^xy=8 gebildet. Was genau sagen mir jetzt diese partiellen Ableitungen? Gibt es da allgemeine regeln für?
Vielen dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Mi 20.08.2014 | | Autor: | Joghurt |
Und warum bildet man für die hinreichende bedingung ausgerechnet fxy und nicht yx oder beides?
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Hallo Joghurt!
> Und warum bildet man für die hinreichende bedingung
> ausgerechnet fxy und nicht yx oder beides?
Weil stets gilt: [mm] $f_{xy}(x,y) [/mm] \ = \ [mm] f_{yx}(x,y)$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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> Aufgabe 2.1: (notwendige Bedingung für stationäre
> Stellen)
> Bestimmen Sie stationäre Stellen für die folgenden
> Funktionen von zwei
> Veränderlichen:
> 1. f(x, y) = x2 + 2y2 − 4x
> 2. f(x, y) = x3 − x2 − y2 − 4 − x
> 3. f(x, y) = x3 + y3 − 9xy
> Aufgabe 2.2: (hinreichende Bedingung für stationäre
> Stellen)
> Bestimmen Sie für die Funktionen aus Aufgabe 2.1 die Art
> der stationären
> Stellen mit dem hinreichenden Kriterium.
> Ich hänge gerade bei 2.2. Ich habe jetzt die partiellen
> Ableitungen fxx=2 fxy=0 fyy=4 und fxxfyy-f^xy=8 gebildet.
> Was genau sagen mir jetzt diese partiellen Ableitungen?
> Gibt es da allgemeine regeln für?
>
> Vielen dank!
Hallo Joghurt
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Zunächst eine Bemerkung: es wäre nützlich, wenn du die Eingabe-
hilfen unter dem Eingabefenster bzw. den Formeleditor
nutzen würdest, um z.B. die Exponenten wirklich hochzustellen.
Ferner vermute ich, dass auf deiner Tastatur die Umlaute ä,ö,ü
vorhanden sind, denn wenigstens in einzelnen Fällen hast du
sie auch benutzt ...
Das gemeinte Beispiel ist vermutlich das mit der Funktion f mit
$\ f(x, y)\ =\ [mm] x^2 [/mm] + [mm] 2\,y^2 [/mm] − [mm] 4\,x$
[/mm]
Die partiellen zweiten Ableitungen werden in der ![[]](/images/popup.gif) Hesse-Matrix
zusammengefasst.
Man verwendet sie zum Beispiel, um "kritische Punkte" einer
Funktion näher zu untersuchen, also z.B. herauszufinden, ob
die Funktion dort ein Minimum, ein Maximum oder keines von
beidem annimmt.
Siehe dazu auch Definitheit von Matrizen
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mi 20.08.2014 | | Autor: | Joghurt |
Danke! ist die Hesse-Matrix eine Vorraussetzung dafür, um solche Aufgaben lösen zu können?
Muss ich generell also, um die Art der stationären Stellen mithilfe des hinreichendem Kriteriums diese partiellen Ableitungen bilden? Ich schaue mir also die Werte an und wenn sie alle positiv sind, dann ist es ein Minimum, bei negativem Vorzeichen ein Minimum. Woher weiß ich nun, ob die Stelle ein lokales oder globales Maximum/Minimum ist? Und was mache ich, wenn ich bei dem Kreuzprodukt eine positive und bei einer der anderen partiellen Ableitungen ein negatives Ergebnis herausbekomme? Und wie sieht es generell mit Sattelpunkten aus? Kann ich die auch ablesen?
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> Danke! ist die Hesse-Matrix eine Vorraussetzung
"Voraussetzung" hat nur ein "r" !
> dafür, um
> solche Aufgaben lösen zu können?
> Muss ich generell also, um die Art der stationären
> Stellen mithilfe des hinreichendem Kriteriums diese
> partiellen Ableitungen bilden?
Das ist jedenfalls eine der gängigen Methoden dazu.
> Ich schaue mir also die
> Werte an und wenn sie alle positiv sind, dann ist es ein
> Minimum, bei negativem Vorzeichen ein Minimum. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Nein, so ist es nicht. Ich habe dich mit Absicht noch auf
den Begriff der Definitheit von Matrizen hingewiesen,
den du wohl noch genauer studieren solltest.
> Woher weiß
> ich nun, ob die Stelle ein lokales oder globales
> Maximum/Minimum ist?
(Bemerkung: die Stelle ist weder ein Minimum noch
ein Maximum. Der an einer solchen kritischen Stelle [mm] (x_i|y_i)
[/mm]
angenommene Funktionswert [mm] f(x_i|y_i) [/mm] könnte allenfalls ein
solches sein !)
> Und was mache ich, wenn ich bei dem
> Kreuzprodukt
Kreuzprodukt ???
> eine positive und bei einer der anderen
> partiellen Ableitungen ein negatives Ergebnis
> herausbekomme? Und wie sieht es generell mit Sattelpunkten
> aus? Kann ich die auch ablesen?
Falls einer der Eigenwerte der (in einem kritischen Punkt [mm] (x_0|y_0) [/mm] mit
[mm] f_x(x,y)=f_y(x;y)=0 [/mm] berechneten) Hesse-Matrix positiv und einer
negativ (und damit die Matrix indefinit) ist, dann liegt in [mm] (x_0|y_0)
[/mm]
mit Sicherheit ein Sattelpunkt der Fläche z=f(x,y) vor.
LG , Al-Chwarizmi
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