Hintergründe zu Matrizen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich bin neu hier.
Mein Anliegen ist folgendes: Kann mir jemand sagen, ob die Eigenwerte einer Matrix etwas zu tun haben mit dem Kern und dem Bild, sowie der Basis vom Kern und Bild. Ich habe zwar Literatur zu diesem Thema, doch wird dort nur von Eigenwerten gesprochen, in der Uni aber nur vom Kern und Bild.
Ich bin verwirrt.
Desweiteren konnte ich immernoch nicht herausfinden, wozu der Kern oder das Bild, sowie die Basen dazu gut sein sollen.
Es wäre wirklich nett, wenn mir einer dazu was sagen könnte.
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Hallo,
zunächst einmal sind die Eigenwerte [mm]\lambda[/mm] Lösungen des
charakteristischen Polynoms [mm]\det (A - \lambda I) = 0[/mm].
Die Eigenvektoren zu einem Eigenwert [mm]\lambda[/mm] berechnen
sich aus der Gleichung:
[mm](A - \lambda I)x = 0[/mm]
Das heisst die (einfachen) Eigenvektoren also sind Elemente von [mm]Kern(A - \lambda I)[/mm]
Gruss
MathePower
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Also ich habe gerade in meinem Mathebuch ( Mathematik für Ings und Naturwissenschaftler von Lothar Papula) nachgeschlagen.
Auf diese Weise haben wir das Thema nicht behandelt, sondern:
zb: Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem des Vektorraumes V heißt "Basis des Vektorraumes V". (Also wenn es den [mm] R^n [/mm] aufspannt)
Kern: Seien V und W Vektorräume über K und L eine lineare Abbildung von V nach W (V = Def.bereich ; w = Wertebereich). Dann heißt die Menge {v|v aus V, Lv = 0Vektor}(?) der kern oder der Nullraum der linearen Abbildung L.
Was heißt das jetzt konkret. (Ich bin kein Mathegenie, muss es aber für meinen Studiengang machen.)
Bild: Seien V und W Vektorräume über K und L eine lineare Abbildung von V nach W. Dann heißt die Menge {Lv|v aus V}(?) das Bild der linearen Abbildung L.
Was heißt das jetzt ? Ich kann mir darunter absolut nichts vorstellen.
Gibt es dazu eine visuelle Lernhilfe?
Was kann ich mir unter eine Basis vom Bild oder vom Kern vorstellen?
Ich weiß, dass die Elemente der Basis (Kern ,Bild) = der Dimension (Kern,Bild) sind.
Aber was kann ich damit anfangen?
Wie schon gesagt, bin ich kein Mathegenie. Kennt jemand eine zuverlässige Quelle. Vielleicht so etwas wie LinAlg für Dummies?
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Zumindest auf deinen Fragen Kern und Bild betreffend kann ich dir antworten, ein Buch "LA für Dummies" fällt mir jetzt grad nicht ein...
Also, zuerst der Kern einer linearen Abbildung: das ist die Menge aller linear unabhängigen Vektoren, die durch die Abbildungsvorschrift auf den Nullvektor von W abgebildet werden.
Wenn A die Abbildungsmatrix der Abbildung L ist, dann also, wie du's geschrieben hast: alle [mm]\vec{x}[/mm], für die gilt: [mm]A \cdot \vec{x} = \vec{0}[/mm].
Um den Kern zu berechnen, stellst du eben das LGS [mm](A|\vec{0})[/mm] auf, formst die linke Seite mittels Gauß-Algorithmus um, und bestimmst dann (linear unabhängige, vom Nullvektor verschiedene) Vektoren, die dieses LGS erfüllen.
Hast du z.B. ein LGS mit 6 Varibalen (also 6 Spalten in A), und es bleiben nach den Umformungen noch 4 Nicht-Nullzeilen übrig, dann wirst du 2 lin. unabh. Vektoren finden können, die dann den Kern aufspannen.
Bild: Die Abbildung L ist eine Abbildung von V nach W, und die Elemente aus V werden mit [mm]\vec{v}[/mm] bezeichnet.
Das Bild einer Abbildung ist einfach die Menge der Vektoren, die rauskommen können, wenn man die Elemente aus V da reinwirft und schaut, was da rauskommt (gaaar nicht schön ausgedrückt...).
Nehmen wir als Beispiel eine Geradengleichung, wie du sie wahrscheinlich aus der Schule kennst: [mm]\vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3} + t \cdot \vektor{2 \\ 0 \\ 1}[/mm], [mm]t \in \IR[/mm],
Man nimmt sich also Zahlen aus [mm]\IR[/mm] raus, setzt sie für das t ein, und erhält einen Vektor [mm]\vec{x}[/mm] des [mm]\IR^3[/mm]. Aber damit werden nicht alle Elemente des [mm]\IR^3[/mm] "getroffen", sondern nur diejenigen, die auf dieser Geraden liegen. Und diese Gerade ist somit das Bild dieser Abbildung.
Soweit verstanden? Hier sollte es jetzt erstmal nur ganz grundlegend um die Begriffe gehen, alle Aufgaben wirst du damit nicht lösen können 
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