Höchster Exponent phi(n) < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet | Datum: | 12:17 Sa 28.05.2011 | Autor: | Arniebo |
Aufgabe | Sei n,k [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \phi(n)=k. [/mm] Sei [mm] k=\produkt_{j=1}^{s}q_{j}^{d_{j}} [/mm] die kanonische Primfaktorzerlegung von k.
1. Zeigen Sie: Für gerades n gilt n [mm] \ge [/mm] 2k.
2. Sei p eine Primzahl mit p|n. Zeigen Sie, dass p [mm] \le [/mm] k+1 gilt.
3. Sei p eine Primzahl und e [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] p^{e} [/mm] | n. Zeigen Sie, dass e [mm] \le max(d_{j} [/mm] |1 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] s) +1 gilt. |
Hallo,
die erste Teilaufgabe habe ich soweit hinbekommen, die zweite habe ich versucht, indem ich das ganze für [mm] \phi(p)=p-1 [/mm] mit [mm] \phi(n)=k [/mm] nach [mm] \phi(p)-1=p [/mm] umgeformt habe, aber bei der dritten habe ich keine weitere Idee mehr. Bislang habe ich es über [mm] \phi(p^{r})=p^{r}(1-\bruch{1}{p}) [/mm] versucht, kam aber auf kein Ergebnis. Ich hoffe, ihr könnt mir einen Hinweis geben, wie man an die Exponenten heran kommt.
Vielen Dank im Voraus,
mit lieben Grüßen,
Melanie
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Hallo Melanie alias Arniebo,
Vorab: für teilerfremde a,b ist [mm] \Phi(a*b)=\Phi(a)*Phi(b).
[/mm]
Das wirst Du hier nutzen können.
> Sei n,k [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]\phi(n)=k.[/mm] Sei
> [mm]k=\produkt_{j=1}^{s}q_{j}^{d_{j}}[/mm] die kanonische
> Primfaktorzerlegung von k.
> 1. Zeigen Sie: Für gerades n gilt n [mm]\ge[/mm] 2k.
> 2. Sei p eine Primzahl mit p|n. Zeigen Sie, dass p [mm]\le[/mm] k+1
> gilt.
> 3. Sei p eine Primzahl und e [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]p^{e}[/mm] | n. Zeigen
> Sie, dass e [mm]\le max(d_{j}[/mm] |1 [mm]\le[/mm] j [mm]\le[/mm] s) +1 gilt.
Der dritte Aufgabenteil ist so noch sinnlos. Was ist da wirklich zu zeigen? Die max-Klammer enthält nur ein, wenn auch beliebiges, Element.
> Hallo,
> die erste Teilaufgabe habe ich soweit hinbekommen, die
> zweite habe ich versucht, indem ich das ganze für
> [mm]\phi(p)=p-1[/mm] mit [mm]\phi(n)=k[/mm] nach [mm]\phi(p)-1=p[/mm] umgeformt habe,
Guter Anfang. Allerdings kann n durchaus den Faktor [mm] p^k [/mm] beinhalten, mit [mm] k\in\IN, [/mm] k>1. Dann sieht der Nachweis ein bisschen anders aus.
> aber bei der dritten habe ich keine weitere Idee mehr.
> Bislang habe ich es über [mm]\phi(p^{r})=p^{r}(1-\bruch{1}{p})[/mm]
> versucht, kam aber auf kein Ergebnis. Ich hoffe, ihr könnt
> mir einen Hinweis geben, wie man an die Exponenten heran
> kommt.
Erst wenn die Aufgabenstellung korrekt ist...
> Vielen Dank im Voraus,
> mit lieben Grüßen,
> Melanie
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 22:11 Di 31.05.2011 | Autor: | Arniebo |
Hallo,
die Aufgabenstellung ist so korrekt und es fehlt nichts, die max()-Angabe bezog sich auf alle möglichen Exponenten der Primfaktorzerlegung.
Ich habe es gestern doch noch hinbekommen, vielen Dank aber auf jeden Fall!
Liebe Grüße
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