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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Höhe einer Pyramide
Höhe einer Pyramide < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Höhe einer Pyramide: Frage1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 Sa 24.09.2005
Autor: MrS

Hi,

ich habe eine eine Pyramide mit 4 Punkten
A(3|0|0) B(4|3|0) C(0|5|1) D(2|2|4)

[Dateianhang nicht öffentlich]

Wie bekomme ich die Höhe h raus?

Gruß MrS
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Höhe einer Pyramide: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:27 Sa 24.09.2005
Autor: MathePower

Hallo MrS,

> Hi,
>  
> ich habe eine eine Pyramide mit 4 Punkten
>  A(3|0|0) B(4|3|0) C(0|5|1) D(2|2|4)
>  
> Wie bekomme ich die Höhe h raus?

bilde die durch A,B,C gehende Ebene:

[mm]E:\;\overrightarrow {x\;} = \;A\; + \;u\;\left( {B\; - \;A} \right)\; + \;v\;\left( {C\; - \;A} \right)[/mm]

Durch die Ebene ist eine Normalenvektor festgelegt.

Den Normalenvektor erhältst Du z.B. wenn die Ebene in Koordinatenform dargestellt wird.

[mm]a\;x_{1}\;+\;b\;x_{2}\;+\;c\;x_{3}\;=\;d[/mm]

Dann ist [mm] \overrightarrow n \; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c} a \\ b \\ c \\ \end{array} } \right)[/mm] der Normalenvektor der Ebene E.

Die Gerade [mm]g:\;\overrightarrow x \; = \;D\; + \;t\;\overrightarrow n [/mm] schneidet die Ebene E in S.

Berechne dann den Abstand DS.

Gruß
MathePower
Bezug
                
Bezug
Höhe einer Pyramide: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:03 So 25.09.2005
Autor: MrS


> Hallo MrS,
>  
> > Hi,
>  >  
> > ich habe eine eine Pyramide mit 4 Punkten
>  >  A(3|0|0) B(4|3|0) C(0|5|1) D(2|2|4)
>  >  
> > Wie bekomme ich die Höhe h raus?
>  
> bilde die durch A,B,C gehende Ebene:

> [mm]E:\;\overrightarrow {x\;} = \;A\; + \;u\;\left( {B\; - \;A} \right)\; + \;v\;\left( {C\; - \;A} \right)[/mm]

Ok ... das habe ich gemacht und zwar folgendes:

E = [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + u [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + v [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]

> Durch die Ebene ist eine Normalenvektor festgelegt.
>  
> Den Normalenvektor erhältst Du z.B. wenn die Ebene in
> Koordinatenform dargestellt wird.
>  

folgendes hab ich erhalten:
[mm]1\;x_{1}\;+\;1\;x_{2}\;+\;3\;x_{3}\;=\;1[/mm]

>  

folgendes habe ich erhalten
Dann ist [mm] \overrightarrow n \; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array} } \right)[/mm]


> der Normalenvektor der Ebene E.
>  
> Die Gerade [mm]g:\;\overrightarrow x \; = \;D\; + \;t\;\overrightarrow n[/mm]
> schneidet die Ebene E in S.
>  
> Berechne dann den Abstand DS.

Doch der letzte schritt war mir unklar :( ... könntet ihr mir evtl. weiterhelfen?
>  
> Gruß
>  MathePower

Bezug
                        
Bezug
Höhe einer Pyramide: Koordinatenform falsch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:30 So 25.09.2005
Autor: Loddar

Hallo MrS!


> E = [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + u [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + v [mm]\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]

[ok]



> folgendes hab ich erhalten:
> [mm]1\;x_{1}\;+\;1\;x_{2}\;+\;3\;x_{3}\;=\;1[/mm]

[notok] Hier musst Du Dich irgendwo verrechnet haben.

Wie bist Du denn darauf gekommen? Bitte poste doch mal Deinen Rechenweg.


Dein ermittelter Normalenvektor [mm] $\vec{n}$ [/mm] steht nicht senkrecht auf die beiden Richtungsvektoren der Ebene:

[mm] $\vektor{1 \\ 3 \\ 0}*\vektor{1 \\ 1 \\ 3} [/mm] = \ 1*1 + 3*1 + 0*3 \ = \ 1 + 3 + 0 \ = \ 4 \ [mm] \not= [/mm] \ 0$

[mm] $\vektor{-3 \\ 5 \\ 1}*\vektor{1 \\ 1 \\ 3} [/mm] = \ (-3)*1 + 5*1 + 1*3 \ = \ -3 + 5 + 3 \ = \ 5 \ [mm] \not= [/mm] \ 0$


Ich habe hier als Koordinatenform erhalten (bitte nachrechnen):

[mm] $-3x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] - [mm] 14x_3 [/mm] \ = \ -9$


Der letzte Schritt geht folgendermaßen:

Mit dem Normalenvektor stellst Du eine Geradengleichung auf, die durch die Spitze der Pyramide $D_$ geht:

$g \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vec{d} [/mm] + [mm] t*\vec{n}$ [/mm]


Diese Gerade $g_$ schneidet dann die oben ermittelte Ebene in dem Fußpunkt der Höhe $S_$.

Wenn Du dieses $S_$ ermittelt hast (durch Gleichsetzen bzw. Einsetzen der Gleichungen), hast Du mit dem Abstand $d(D;S)_$ auch gleich Deine gesuchte Höhenlänge.


Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
Höhe einer Pyramide: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:15 So 25.09.2005
Autor: MrS

Hi,

danke für eure Hilfe!

Aber ich verstehe momentan nicht wie man auf die Koordinatenform kommt???

Mit freundlichen Grüßen
MrS
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Bezug
Höhe einer Pyramide: Koordinatenform
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:07 So 25.09.2005
Autor: Disap

Hi.
> Hi,
>  
> danke für eure Hilfe!
>  
> Aber ich verstehe momentan nicht wie man auf die
> Koordinatenform kommt???
>  

Du hast dich beim Berechnen des Normalenvektors vertan.

[mm] \vec{n}= \vektor{1 \\ 3\\ 0} \times\vektor{-3 \\ 5\\ 1} [/mm]

[mm] \vec{n}=\vektor{3*1-0*5 \\ 0*(-3)-1*1\\ 1*5-3*(-3)} [/mm]
[mm] =\vektor{3-0 \\ 0-1\\ 5-(-9)} [/mm]
[mm] =\vektor{3 \\ -1\\ 14} [/mm]

Das ist der selbe Vektor, den Loddar berechnet hat. Nur ist Loddars n-Vektor mit *(-1) genommen worden. Das macht aber nichts. Das ganze nennt man dann: Gegenvektor.

Nun klar, MrS?
Beim nächsten mal bitte zeigen, wie du den Normalenvektor berechnet hast.
> Mit freundlichen Grüßen
>  MrS

Gruesse Disap
Bezug
                                                
Bezug
Höhe einer Pyramide: frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:26 So 25.09.2005
Autor: MrS

hi,

ich habe nun die gerade berechnet ... doch ich weiß nicht was für einen punkt ich einsetzen muss !


G= (2|2|4) + t * (3|-1|14)

Sorry, dass ich euch so viele fragen stelle, aber verstehs leider echt nicht :-(

Gruß mrs


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Bezug
Höhe einer Pyramide: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 So 25.09.2005
Autor: Strenni

Hallo MrS,

Du hast jetzt also die Gerade berechnet, die sowohl durch den Punkt D, als auch durch den Schnittpunkt S mit der Ebene ABC geht.

Schnittpunkte berechnet man i.d.R. durch das Gleichsetzungsverfahren. Da der Punkt S sowohl zur Geraden, als auch zur Ebene gehört, ist dies naheliegend.

Im nachfolgenden Schritt, setzt Du alsp einfach die Geradengleichung mit der Ebenengleichung gleich und erhälst somit ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Variablen (Unbekannten), die es nun gilt zu berechnen - im Prinzip würde auch das t schon reichen, aber zur Probe ist es sicherlich sinnvoll auch u und v zu berechnen.

Der Berechnung der Koordinaten des Punktes S, sollte somit nichts mehr im Wege stehen.
Danach folgt die Abstandsberechnung von S zu D...
Bezug
                                                                
Bezug
Höhe einer Pyramide: frage/antowort
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:50 Mo 26.09.2005
Autor: MrS

Hi,

also vielen dank! So mein Lösungsweg ...

1. Ich habe die Ebene mit der Gerade gleichgesetzt :

[mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + t [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 14 \end{pmatrix} [/mm]  =  [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + u [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + v [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]

2. danach habe ich 3 Formeln erhalten ...

u - 3v - 3t = 1
3u + 5v +1t = 2
0 + 1v - 14t = 4

3. das ganze mit einem LGS gelöst!
==>
u =  [mm] \bruch{-29}{206} [/mm]

v =  [mm] \bruch{-55}{103} [/mm]

t =  [mm] \bruch{-51}{206} [/mm]

4. t in die Gerade eingesetzt!

G = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + t [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 14 \end{pmatrix} [/mm]  

t =  [mm] \bruch{-51}{206} [/mm]

G = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \bruch{-51}{206} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 14 \end{pmatrix} [/mm]  

Dadurch habe ich S erhalten =>> S [mm] \begin{pmatrix} 1,26\\ 2,248\\ 0,534 \end{pmatrix} [/mm]

5. Die Länge der Geraden  [mm] \overrightarrow{SD} [/mm]

[mm] \wurzel{(s_1 - d_1)^2+(s_2-d_2)^2+(s3_-d_3)^2} [/mm]

[mm] \wurzel{(1,26 - 2)^2+(2,248-2)^2+(0,534-4)^2} [/mm]

Die Höhe beträgt H = 3,55 m


Ich hoffe ihr könnt mein Ergebnis bestätigen :)

Mit freundlichen Grüßen
MrS


Bezug
                                                                        
Bezug
Höhe einer Pyramide: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:43 Di 27.09.2005
Autor: Strenni

Hallo MrS,

das sieht doch sehr gut aus. ;-)

Das Ergebnis kann ich auch bestätigen, von daher sollte es auch so passen.
Bezug
        
Bezug
Höhe einer Pyramide: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:45 So 25.09.2005
Autor: Strenni

Hallo MrS,

wär nett, wenn Du Dein Ergebnis hier mit hineinschreiben würdest. Ich habe die Aufgabe jetzt auch einmal komplett durchgerechnet - danke an dieser Stelle an MathePower für den Hinweis - und würde das Endergebnis gern mit Dir vergleichen.
Bezug
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