Höhen im Dreieck < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweise folgenden Satz mit dem Skalarprodukt:
Satz über die Höhen im Dreieck: Die drei Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt |
Ich habe mittlerweile unzählige Skalarproduktbeweise im Internet gefunden, aber keinen, in dem ich einen Punkt beweisen muss.
Wie komme ich genau auf diesen Mittelpunkt? Mit Ortsvektoren oder...? Weil gegeben habe ich ja hc*c=0 usw, wobei hc die Höhe con C auf c ist. Eine Idee von mir wäre gewesen, z.B. phi*hc irgendwie durch alle drei Höhen zu beweisen, wobei ohi*hc der Vektorteil der Höhe c bis zum gemeinsamen Mittelpunkt ist. Aber leider bekomme ich hierbei nur unendliche Formel heraus, die bei mir keinen Sinn mehr ergeben. Hat jemand eine andere Idee?
Vielen Dank im voraus!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Ich sehe keine elegante Lösung, aber vielleicht hat ja jemand anders eine Idee.
Mit brutaler Rechengewalt geht das z.B. so:
Du hast ein Dreieck in der x-y-Ebene, eine Ecke befindet sich im Nullpunkt, eine Seite auf der x-Achse - auf diese einfache Form lässt sich jedes Dreieck bringen; evtl. muss eine Koordinatentransformation durchgeführt werden.
Das Dreieck werde definiert, indem seine Seiten durch die Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} [/mm] gegeben werden; es gelte [mm] \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}
[/mm]
Wenn das (immer noch allgemeine) Dreieck die Eckpunkte (0,0), (u,0), (s,t) haben soll, können die Vektoren z.B. so gewählt werden:
[mm] \vec{a}=\vektor{u \\ 0}
[/mm]
[mm] \vec{b}=\vektor{s-u \\ t}
[/mm]
[mm] \vec{c}=\vektor{-s \\ -t}
[/mm]
Praktischerweise sollten die Punkte auch noch die gewohnten Namen bekommen: A=(s,t); B=(0,0); C=(u,0)
Nun weißt Du, dass die Höhe auf der Seite a senkrecht steht (also [mm] \vec{a}*\vec{h_a}=0)
[/mm]
Auch der Fußpunkt der Höhe ist leicht zu bestimmen (![[]](/images/popup.gif) hier findest Du eine hübsche Erklärung mit Zeichnungen).
Wegen der Richtungen der Vektoren musst Du allerdings auf die Vorzeichen aufpassen. Der Ortsvektor [mm] \vec{f_a} [/mm] des Fußpunktes der Höhe [mm] h_a [/mm] berechnet sich zu
[mm] \vec{f_a}=\vec{a}-\bruch{(-\vec{a}*\vec{b})}{|\vec{a}|}*\bruch{\vec{a}}{|\vec{a}|}
[/mm]
Das allerdings erweist sich als unelegant.
Es empfiehlt sich also, die Höhen von der anderen Richtung aus anzugehen, also von den Eckpunkten aus.
Deren Koordinaten waren ja einfach angenommen, nur musst Du auf die Richtung der "neuen" Höhenvektoren achten, hier mal als [mm] \vec{h'_a} [/mm] geschrieben. Die Ortsvektoren der Dreieckspunkte A,B,C sollen [mm] \vec{l_A},\vec{l_B},\vec{l_C} [/mm] heißen.
Nun bestimmst Du den Schnittpunkt zweier Höhen:
[mm] \vec{l_A}+d*\vec{h'_a}=\vec{l_B}+e*\vec{h'_b}
[/mm]
...und zeigst schließlich noch, dass dieser Punkt auch vom dritten Punkt aus über die Höhe erreicht wird, also
[mm] \vec{l_A}+d*\vec{h'_a}=\vec{l_B}+e*\vec{h'_b}=\vec{l_C}+f*\vec{h'_c}
[/mm]
Und dann wärst Du schon fertig. :(
Es reicht übrigens zu zeigen, dass d,e,f existieren, so dass die letzte Gleichung stimmt; die Werte sind unerheblich, wenn auch leicht zu bestimmen.
Na dann, viel Erfolg!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Mo 10.11.2008 | | Autor: | weduwe |
> Beweise folgenden Satz mit dem Skalarprodukt:
> Satz über die Höhen im Dreieck: Die drei Höhen eines
> Dreiecks schneiden sich in einem Punkt
mit den bezeichnungen aus dem bilderl soll man zeigen
(1) [mm] \vec{h}\cdot (\vec{a}-\vec{b})=0
[/mm]
nun gilt
(2) wegen [mm] h_b \perp [/mm] b
[mm] (\vec{h}-\vec{a})\cdot\vec{b}=0\to \vec{h}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{b}
[/mm]
(3) wegen [mm] h_a \perp [/mm] a
[mm] (\vec{h}-\vec{b})\cdot\vec{a}=0\to \vec{h}\cdot\vec{a}=\vec{a}\cdot\vec{b}
[/mm]
das setzt man nun in (1) ein und ist am ziel, da es ja durch den punkt C nur eine senkrechte auf die seite c bzw. deren trägergerade gibt
anmerkung:
[mm] h_a [/mm] steht senkrecht auf [mm] \vec{a} =\overrightarrow{CA} [/mm] - und analog [mm] h_b [/mm] -
entspricht also nicht der sonst im 3eck üblichen bezeichnung
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 Mo 10.11.2008 | | Autor: | reverend |
Ja, das ist eine elegante Lösung, weduwe.
Bin ich nicht drauf gekommen.
Glückwunsch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Mo 10.11.2008 | | Autor: | weduwe |
> Ja, das ist eine elegante Lösung, weduwe.
> Bin ich nicht drauf gekommen.
> Glückwunsch!
danke schön
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Luna-Mausi |
Super, vielen Dank an beide!
Habe zwar vor allem das erste zunächst mal nicht verstanden, werde mir das aber als Bettlektüre nochmal in aller Ruhe zu Gemüte führen und hoffe, es zu verstehen 
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:25 Mo 10.11.2008 | | Autor: | reverend |
Aber nein, vergiss meinen Vorschlag getrost gleich.
Mathematik macht Spaß, wenn die beschriebenen Muster einfach sind und ihre Regelmäßigkeit hoch. Je einfacher die (mathematische) Beschreibung, um so "schöner" finden Mathematiker sie.
Auf dieser Grundlage sollte ich meine Lösung zurückziehen. 
Nicht, dass sie falsch wäre, aber "schön" ist sie nicht.
Das einzige, was vielleicht für das Skalarprodukt von Vektoren noch ein praktischer Hinweis ist, steht auf der Seite, die ich verlinkt habe. Das könnte Dir bei anderen Aufgaben in Zukunft weiterhelfen. Die geometrische Deutung des Skalarprodukts macht es anschaulicher.
Ansonsten halte Dich lieber an weduwes Lösung. So sieht gute Mathematik aus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Do 13.11.2008 | | Autor: | Luna-Mausi |
ok, ich habe sie ohnehin nicht vollständig verstanden :)
Wobei ich Mathe eigentlich auch kompliziert sehr gern mag ;)...weil wenns einfach wird (wie den Abstand zweier paralleler Geraden, von denen eine in der Ebene [mm] x_{3}-2=0 [/mm] liegt ausrechnen) kann ich dann nichts mehr^^
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