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Hallo,
so langsam bin ich wirklich deprimiert, dass die Übungsblätter nur aus Beweisen bestehen, die ich nicht lösen kann. Ich weiß wirklich nicht, was ich machen soll bei folgender Aufgabe:
Zeigen Sie: Jede holomorphe Funktion f mit [mm] \limes_{z\rightarrow\infty}f(z)=0 [/mm] ist konstant.
Holomorph heißt ja, das die Funktion einmal stetig differenzierbar ist, d.h. der Differenzenquotient ist hier =0, stimmt das? muss ich damit vielleicht arbeiten? Oder ist die Idee völlig falsch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt, allerdings tat es wohl jemand anders auf emath.de
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 So 19.06.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Nimlothiel,
> so langsam bin ich wirklich deprimiert, dass die
> Übungsblätter nur aus Beweisen bestehen, die ich nicht
> lösen kann. Ich weiß wirklich nicht, was ich machen soll
> bei folgender Aufgabe:
> Zeigen Sie: Jede holomorphe Funktion f mit
> [mm]\limes_{z\rightarrow\infty}f(z)=0[/mm] ist konstant.
Heißt das nicht eher [mm]\limes_{|z|\rightarrow\infty}f(z)=0[/mm]?
Oder ist [mm] $z\in\IR$?
[/mm]
Oder ist die Funktion [mm] $\widehat{\IC}\to\widehat{\IC}$ [/mm] (mit [mm] $\widehat{\IC}:=\IC\cup\{\infty\}$)
[/mm]
> Holomorph heißt ja, das die Funktion einmal stetig
> differenzierbar ist, d.h. der Differenzenquotient ist hier
> =0, stimmt das?
Hmm, diese Definition sieht sehr aus der reellen Theorie übernommen aus 
Für holomorph gibt es verschieden (aber natürlich äquivalente) Definitionen, im Falle [mm] $f:\IC\to\IC$:
[/mm]
i) $f$ holomorph in $a$ [mm] $\gdw$ [/mm] Es existiert eine Umgebung von $a$, in der $f$ komplex differenzierbar ist.
ii) $f$ holomorph in $a$ [mm] $\gdw$ [/mm] $f$ ist in eine konvergente Potenzreihe um a entwickelbar
Mit der Holomorphie an einer Stelle a hat man auch immer die Holomorphie in einer Umgebung dieser Stelle.
Eine Funktion $f: [mm] D\to\IC$ [/mm] heißt holomorph, wenn sie in jedem Punkt [mm] $a\in [/mm] D$ holomorph ist.
Die Stetigkeit ergibt sich übrigens automatisch, muss also nicht extra gefordert werden.
> muss ich damit vielleicht arbeiten? Oder
> ist die Idee völlig falsch?
Ich sehe im Augenblick nicht, wie dich das weiter führen kann.
Allerdings möchte ich dich bitten, nochmal den exakten Wortlaut der Aufgabe wiederzugeben.
Ich gehe im Folgenden davon aus, dass [mm] $f:\IC\to\IC$, [/mm] und dass [mm] $\limes_{|z|\to\infty} [/mm] f(z)=0$
Dann kann ich dir eigentlich nur den Tipp geben, mal zu schauen, ob die Voraussetzungen des Satzes von Liouville erfüllt sind...
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt, allerdings tat es wohl jemand
> anders auf emath.de
![[]](/images/popup.gif) http://www.emath.de/Mathe-Board/messages/3/17238.html?1119181714
Viele Grüße,
Marc
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Genaue Aufgabenstellung:
Zeigen Sie: Jede holomorphe Funktion f mit [mm] \limes_{z\rightarrow\infty}f(z)=0 [/mm] ist konstant.
Genau so und nicht anders.
Der Satz von Liouville besagt, dass f konstant ist, wenn f eine ganze Funktion und beschränkt auf C ist. Heißt also, dass ich diese Eigenschaften zeigen muss, oder?
Also eine ganze Funktion ist eine auf ganz C holomorphe Funktion. Aber in der Aufgabe hab ich ja nur den limes gegeben, keine Funktion, die ich auf Holomorphie testen könnte, wie mach ich das dann? Und wie geht das dann mit der Beschränktheit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> Genaue Aufgabenstellung:
> Zeigen Sie: Jede holomorphe Funktion f mit
> [mm]\limes_{z\rightarrow\infty}f(z)=0[/mm] ist konstant.
> Genau so und nicht anders.
Damit ist aber genau das gemeint, was Marc hingeschrieben hat. Ganz genau bedeutet es das Folgende: Für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gibt es ein [mm] $K(\varepsilon)>0$, [/mm] so dass für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|z| > [mm] K(\varepsilon)$ [/mm] folgendes gilt:
[mm] $|f(z)|<\varepsilon$.
[/mm]
Damit sollte klar sein, wie man die (globale) Beschränktheit von $f$ zeigt, denn zu betrachten sind ja jetzt nur noch die $z$ mit [mm] $|z|\le K(\varepsilon)$, [/mm] und die bilden eine kompakte Menge, auf der die stetige Funktion $|f|$ ein Maximum annimmt.
> Der Satz von Liouville besagt, dass f konstant ist, wenn f
> eine ganze Funktion und beschränkt auf C ist. Heißt also,
> dass ich diese Eigenschaften zeigen muss, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also eine ganze Funktion ist eine auf ganz C holomorphe
> Funktion.
> Aber in der Aufgabe hab ich ja nur den limes
> gegeben, keine Funktion, die ich auf Holomorphie testen
> könnte, wie mach ich das dann? Und wie geht das dann mit
> der Beschränktheit?
Die Holomorphie ist doch vorausgesetzt! Zur Beschränktheit siehe oben.
Viele Grüße
Julius
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