Holomorphe Funktionen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Do 02.03.2006 | | Autor: | elena27 |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IC [/mm] \ {0} --> [mm] \IC [/mm] holomorph, nicht konstant, B= B(0,1) die offene Einheitskreisscheibe und C= [mm] \partial [/mm] B. Welche der folgenden Situationen sind möglich?
a) f ist beschränkt auf [mm] \C [/mm] \ B
b) f besitzt einen Pol in 0, aber Res (f,0)= 0
c) f ist nicht meromorph in [mm] \IC
[/mm]
d) f ist konstant auf {z: z aus [mm] \IC, [/mm] Re z=1}
e)Re f(z)= 0 für alle z aus B, z [mm] \not= [/mm] 0
g) f hat Stammfunktion in [mm] \IC [/mm] \ {0} , aber [mm] \integral_{C}{f(z) dz} \not= [/mm] 0 |
Hallo,
ich habe ein paar Gedanken zu der Aufgabe, komme aber leider nicht weiter.
Könnte mir jemand bitte dabei helfen?
Zu b) wie wäre es mit f(z) = [mm] \bruch{1}{z^{2}}?
[/mm]
Zu c) f(z)= [mm] e^{1/z} [/mm] (da 0 ein wesentliche Singularität ist)
Zu dem Rest habe ich leider keine Gedanken :-(
Vielen vielen Dank im voraus für die Hilfe.
Gruß
Elena
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Do 02.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Sei f: [mm]\IC[/mm] \ {0} --> [mm]\IC[/mm] holomorph, nicht konstant, B=
> B(0,1) die offene Einheitskreisscheibe und C= [mm]\partial[/mm] B.
> Welche der folgenden Situationen sind möglich?
> a) f ist beschränkt auf [mm]\IC \setminus B[/mm]
> b) f besitzt einen Pol in 0, aber Res (f,0)= 0
> c) f ist nicht meromorph in [mm]\IC[/mm]
> d) f ist konstant auf [mm]\{z: z \in IC, Re z=1\} [/mm]
> e)Re f(z)= 0 für alle z aus B, z [mm]\not=[/mm] 0
> g) f hat Stammfunktion in [mm]\IC \setminus \{0\}[/mm], aber
> [mm]\integral_{C}{f(z) dz} \; \not= 0[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe ein paar Gedanken zu der Aufgabe, komme aber
> leider nicht weiter.
> Könnte mir jemand bitte dabei helfen?
a): probier doch mal deine Funktion aus b).
> Zu b) wie wäre es mit f(z) = [mm]\bruch{1}{z^{2}}?[/mm]
genau.
> Zu c) f(z)= [mm]e^{1/z}[/mm] (da 0 ein wesentliche Singularität
> ist)
genau.
> Zu dem Rest habe ich leider keine Gedanken :-(
d): schau dir den Identitaetssatz an.
e): schau dir die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen an; was sagen die ueber den Imaginaerteil aus?
g): nimm doch mal an, es gibt eine, und leite sie ab. Die Funktion hat auf jeden Fall eine Laurentreihenentwicklung um $z = 0$. Was ist mit dem Residuum in $z = 0$? (Weiteres Stichwort: Residuensatz.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Do 02.03.2006 | | Autor: | elena27 |
Hallo Felix,
vielen vielen Dank für Deine schnelle Antwort.
Ich habe folgendes überlegt:
Zu a) für f(z)= [mm] 1/z^{2} [/mm] (es geht auch 1/z) wird die Funktion auf [mm] \IC [/mm] \ B beschränkt (da Sie dann gegen 0 geht)?
Zu e) Da B ein Gebiet ist und f holomorph, soll das F(B) auch ein Gebiet sein. Da aber Re f=0 dann bleibt {(0,y), y aus [mm] \IR} [/mm] abgeschlossen. Also ist die aussage falsch.
Zu g) wie wäre es mit f(z)=1/(z+1)? Ich denke aber, dass sie keine Stammfkt hat
Zu d) ?
Vielleicht noch einen kleinen Tipp?
Vielen vielen Dank nochmal für Deine Hilfe!
LG Elena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:31 Fr 03.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Elena!
> vielen vielen Dank für Deine schnelle Antwort.
> Ich habe folgendes überlegt:
> Zu a) für f(z)= [mm]1/z^{2}[/mm] (es geht auch 1/z) wird die
> Funktion auf [mm]\IC \setminus B[/mm] beschränkt (da Sie dann gegen 0
> geht)?
Ja, das geht auch. Das richtige Argument lautet: Fuer $z [mm] \in \IC \setminus [/mm] B$ gilt $|z| [mm] \ge [/mm] 1$, womit [mm] $\frac{1}{|z|} \le [/mm] 1$ und [mm] $\frac{1}{|z^2|}$ [/mm] ist fur alle solche $z$.
> Zu e) Da B ein Gebiet ist und f holomorph, soll das F(B)
> auch ein Gebiet sein. Da aber Re f=0 dann bleibt [mm]\{(0,y), y[/mm]
> aus [mm]\IR\}[/mm] abgeschlossen. Also ist die aussage falsch.
Das stimmt nicht ganz: Erstens willst du $B [mm] \setminus \{ 0 \}$ [/mm] betrachten!
Zweitens muss $f(B [mm] \setminus \{ 0 \})$ [/mm] nicht abgeschlossen sein; aber insbesondere ist es nicht offen (das folgt aus deinem Argument), ein Widerspruch.
> Zu g) wie wäre es mit f(z)=1/(z+1)? Ich denke aber, dass
> sie keine Stammfkt hat
Sie ist ja nichtmals holomorph auf [mm] $\IC \setminus \{ 0 \}$. [/mm] Es gibt keine solche Funktion, wie sie in g) beschrieben wird, also kannst du den Aufgabenteil nicht durch ein Beispiel erledigen.
Versuch doch mal so vorzugehen wie ich das geschrieben hab: Nimm an es gibt eine solche Funktion $f$. Sei $F$ die Stammfunktion. Betrachte die Laurententwicklungen von $f$ und $F$ um $0$, und gebe einen Zusammenhang zwischen den beiden Reihen an (das ist ganz einfach, da $F' = f$ ist). Und jetzt schau dir mit den Residuensatz $f$ an: was sagt [mm] $\int_C [/mm] f(z) [mm] \; [/mm] dz [mm] \neq [/mm] 0$ ueber das Residuum von $f$ in $0$ aus? Wie haengt das Residuum mit der Laurentreihenentwicklung zusammen? Faellt dir was auf?
> Zu d) ?
> Vielleicht noch einen kleinen Tipp?
Auf der Menge [mm] $\{ z \mid z \in \IC, \Re z = 1 \}$ [/mm] ist $f$ gleich einer konstanten Funktion. Schau dir jetzt den Identitaetssatz an, was besagt er?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Fr 03.03.2006 | | Autor: | elena27 |
Hallo Felix,
vielen Dank für Deine Antwort.
Bei d) bin ich dazu gekommen: da die Funktion f auf A:= {z: z aus [mm] \IC, [/mm] Re z=1} gleich einer konstanten Funktion ist und A einen Häufungspunkt in [mm] \IC [/mm] \ {0} besitzt (nämlich die Menge {(1,y), y aus [mm] \IR [/mm] \ {0}}). Dann muss nach der Identitätssatz gelten: f ist konstant auf [mm] \IC [/mm] \ {0}. Das wiederspricht der Voraussetzung, also ist die Aussage falsch
Bei g) habe ich überlegt, ob man es mit folgendem begründen kann:
Annahme: f hat eine Stammfunktion F in [mm] \IC [/mm] \ {0}, dann
[mm] \integral_{ \gamma}{f(z) dz} [/mm] = F ( [mm] \gamma [/mm] (b)) - F ( [mm] \gamma [/mm] (a)) = 0, falls Kurve geschlossen ist. Also ist die Situation mit dem Integral ungleich 0 nicht möglich.
Ich würde mich sehr auf eine Antwort freuen.
LG Elena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:21 Sa 04.03.2006 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Elena,
> vielen Dank für Deine Antwort.
> Bei d) bin ich dazu gekommen: da die Funktion f auf $A:= \{z: z$ aus [mm]\IC, \mathrm{Re} z=1}[/mm] gleich einer konstanten Funktion
> ist und A einen Häufungspunkt in [mm]\IC \setminus \{0\}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
besitzt
> (nämlich die Menge $\{(1,y), y$ aus [mm]\IR \setminus \{0\}\}[/mm]). Dann muss
> nach der Identitätssatz gelten: f ist konstant auf [mm]\IC \setminus \{0\}[/mm]. Das wiederspricht der Voraussetzung, also ist die
> Aussage falsch
Genau!
> Bei g) habe ich überlegt, ob man es mit folgendem
> begründen kann:
> Annahme: f hat eine Stammfunktion F in [mm]\IC[/mm] \ {0}, dann
> [mm]\integral_{ \gamma}{f(z) dz}[/mm] = F ( [mm]\gamma[/mm] (b)) - F (
> [mm]\gamma[/mm] (a)) = 0, falls Kurve geschlossen ist. Also ist die
> Situation mit dem Integral ungleich 0 nicht möglich.
Das stimmt auch!
Eine andere Moeglichkeit (die ich meinte), die (vielleicht) ein wenig Einblick bietet, warum es schiefgeht:
Angenommen, es gibt eine Stammfunktion $F$ von $f$. Dann kannst du $f$ und $F$ um den Nullpunkt als Laurentreihe entwickeln, etwa $f(z) = [mm] \sum_{n=-\infty}^\infty a_n z^n$ [/mm] und $F(z) = [mm] \sum_{n=-\infty}^\infty b_n z^n$. [/mm] Nun ist $F' = f$, und man kann komponentenweise Ableiten: $F'(z) = [mm] \sum_{n=-\infty}^\infty b_n [/mm] n [mm] z^{n-1} [/mm] = [mm] \sum_{n=-\infty}^\infty b_{n+1} [/mm] (n + 1) [mm] z^n$. [/mm] Da $F' = f$ auf dem Konvergenzgebiet der beiden Reihen gilt, muss [mm] $a_n [/mm] = [mm] b_{n+1} [/mm] (n + 1)$ fuer jedes $n$ gelten. Insbesondere ist also [mm] $a_{-1} [/mm] = [mm] b_0 \cdot [/mm] 0 = 0$.
(Das folgende kannst du auch genausogut mit dem Residuensatz machen, mir ist aber grad aufgefallen das es direkt eigentlich genauso einfach geht  )
Wenn du nun [mm] $\int_C [/mm] f(z) [mm] \; [/mm] dz$ ausrechnest (das kannst du Gliedweise machen), bekommst du [mm] $\int_C [/mm] f(z) [mm] \; [/mm] dz = [mm] \int_C \sum_{n=-\infty}^\infty a_n z^n \; [/mm] dz = [mm] \sum_{n=-\infty}^\infty a_n \int_C z^n \; [/mm] dz = [mm] a_{-1} \int_C \frac{dz}{z} [/mm] = [mm] a_{-1} \cdot [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] i$ (dabei benutzt du, dass [mm] $z^n$ [/mm] fuer $n [mm] \neq [/mm] -1$ eine Stammfunktion auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] hat, und dass $1/z$ lokal 'den' Logarithmus als Stammfunktion hat).
Du bekommst also heraus: $0 [mm] \neq \int_C [/mm] f(z) [mm] \; [/mm] dz = [mm] a_{-1} \cdot [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] i = 0$, ein Widerspruch!
Und der resultiert daher, dass beim Ableiten der Konstante Teil der Reihenentwicklung von $F$ wegfaellt, und somit die Konstante vor dem $1/z$ von $f$ gleich $0$ sein muss. Beim Integrieren jedoch wird der Wert des Integrals gerade durch den Koeffizienten vor $1/z$ bestimmt, da alle anderen Potenzen von $z$ globale Stammfunktionen besitzen, jedoch $1/z$ gerade nicht!
Vielleicht hilft dir das ein wenig 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Sa 04.03.2006 | | Autor: | elena27 |
Vielen vielen Dank Felix!
Du hast mir sehr weitergeholfen.
LG Elena
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