Holomorphe Funktionen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich habe Probleme mit folgendem Beweis. Gegen sei eine Funktion f, wobei [mm] \overline{f} [/mm] holomorph sein soll.
Dann soll |f| eine konstante Funktion sein.
Ich komm hierbei nichtmal auf einen Ansatz, wer kann mir weiterhelfen.
Danke schonmal im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Fr 11.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich habe Probleme mit folgendem Beweis. Gegen sei eine
> Funktion f, wobei [mm]\overline{f}[/mm] holomorph sein soll.
> Dann soll |f| eine konstante Funktion sein.
Dabei soll $f$ selber auch holomorph sein, oder?
In dem Fall ist [mm] $|f|^2 [/mm] = f [mm] \overline{f}$ [/mm] als Produkt von holomorphen Funktionen ebenfalls holomorph. Weiterhin nimmt [mm] $|f|^2$ [/mm] rein reelle Werte an. Zeige (etwa mit den Cauchy-Riemannschen DGLn), dass [mm] $|f|^2$ [/mm] damit konstant ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 Fr 11.05.2007 | | Autor: | statler |
Gruezi! Moin!
Das glaube ich mal nicht, Felix. Es ist nur eine von beiden komplex differentierbar. Nimm für f einfach mal z selbst oder [mm] \overline{z}
[/mm]
Die Konjugation ist nur reell diff.-bar.
Grüße aus dem verregneten Norden
Dieter
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Erstens behauptet felixf ja gar nicht, daß [mm]f[/mm] und [mm]\bar{f}[/mm] holomorph sind, sondern er sagt: "WENN [mm]f[/mm] und [mm]\bar{f}[/mm] holomorph sind ...".
Und zweitens gibt es durchaus Funktionen, für die sowohl [mm]f[/mm] als auch [mm]\bar{f}[/mm] holomorph ist. Wie wäre es z.B. mit [mm]f(z) = 1105{,}2007 \operatorname{i}[/mm] ?
Und genau darum geht ja diese Aufgabe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 Fr 11.05.2007 | | Autor: | statler |
> Erstens behauptet felixf ja gar nicht, daß [mm]f[/mm] und [mm]\bar{f}[/mm]
> holomorph sind, sondern er sagt: "WENN [mm]f[/mm] und [mm]\bar{f}[/mm]
> holomorph sind ...".
Akzeptiert. Hatte ich nicht zuende gedacht. Und obendrein schlecht formuliert. Sorry!
> Und zweitens gibt es durchaus Funktionen, für die sowohl [mm]f[/mm]
> als auch [mm]\bar{f}[/mm] holomorph ist. Wie wäre es z.B. mit [mm]f(z) = 1105{,}2007 \operatorname{i}[/mm]
> ?
> Und genau darum geht ja diese Aufgabe.
Gruß
Dieter
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Hi,
das ist richtig. f ist gemäß Aufgabenstellung auch holomorph. Entschuldigt, dass ich das vergessen habe.
Ich bin inzwischen auch in der Lage gewesen zu zeigen dass |f| aufgrund der Gleichung [mm] |f|^{2}=f\overline{f} [/mm] holomorph sein muss.
Allerdings weiß ich nicht, wie ich die Konstanz zeigen soll. Genau da steckt der Wurm bei mir.
Viele Grüße,
BertanARG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Fr 11.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> das ist richtig. f ist gemäß Aufgabenstellung auch
> holomorph. Entschuldigt, dass ich das vergessen habe.
>
> Ich bin inzwischen auch in der Lage gewesen zu zeigen dass
> |f| aufgrund der Gleichung [mm]|f|^{2}=f\overline{f}[/mm] holomorph
> sein muss.
> Allerdings weiß ich nicht, wie ich die Konstanz zeigen
> soll. Genau da steckt der Wurm bei mir.
kennst du die Cauchy-Riemannschen Differenzialgleichungen? Wende sie doch mal auf [mm] $|f|^2$ [/mm] an. Was passiert?
Wenn dir nichts auffaellt (oder nichts was dir weiterhilft), so schreib doch mal hier her was du gemacht hast.
LG Felix
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Die CRD sagen mir schon was.
(i) f(x+iy)=u(x,y)+i*v(x,y)
(ii) [mm] \overline{f}(x+iy)=u(x,y)-i*v(x,y)
[/mm]
Die CRD besagen dann, dass
(i)
[mm] u_{x}=v_{y}
[/mm]
[mm] u_{y}=-v_{x}
[/mm]
(ii)
[mm] u_{x}=-v_{y}
[/mm]
[mm] u_{y}=v_{x}
[/mm]
sein sollen.
Kann ich dann daraus folgern, dass [mm] u_{x}=u_{y}=v_{x}=v_{y}=0 [/mm] sein sollen?
Damit wären u und v konstant, und somit auch f und [mm] \overline{f}!
[/mm]
Damit zeige ich, dass f konstant ist, also auch |f|.
Ich hatte eigentlich die Äquivalenz dreier Aussagen zu zeigen,
(a) f konstant
(b) |f| konstant
(c) [mm] \overline{f} [/mm] holomorph
ich konnte (b) [mm] \to [/mm] (a) und (a) [mm] \to [/mm] (c) beweisen.
Ich hatte gehofft, (c) [mm] \to [/mm] (b) direkt beweisen zu können, so habe ich nun aber (c) [mm] \to [/mm] (a) [mm] \to [/mm] (b)
Da (a) [mm] \to [/mm] (b) aber trivial ist, habe ich nun eben
(b) [mm] \gdw [/mm] (a) [mm] \gdw [/mm] (c).
Sind meine Argumentation und meine Beweiskette so korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:14 Sa 12.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Die CRD sagen mir schon was.
> (i) f(x+iy)=u(x,y)+i*v(x,y)
> (ii) [mm]\overline{f}(x+iy)=u(x,y)-i*v(x,y)[/mm]
>
> Die CRD besagen dann, dass
> (i)
> [mm]u_{x}=v_{y}[/mm]
> [mm]u_{y}=-v_{x}[/mm]
>
> (ii)
> [mm]u_{x}=-v_{y}[/mm]
> [mm]u_{y}=v_{x}[/mm]
>
> sein sollen.
Das war nicht das was ich vorgeschlagen hab (du solltest die DGLn auf [mm] $|f|^2$ [/mm] anwenden).
> Kann ich dann daraus folgern, dass
> [mm]u_{x}=u_{y}=v_{x}=v_{y}=0[/mm] sein sollen?
Ja:
Da [mm] $v_y [/mm] = [mm] u_x [/mm] = [mm] -v_y$ [/mm] ist, folgt [mm] $v_y [/mm] = 0$ und damit auch [mm] $u_x [/mm] = 0$. Weiterhin ist [mm] $v_x [/mm] = [mm] u_y [/mm] = [mm] -v_x$, [/mm] womit [mm] $v_x [/mm] = 0$ ist und damit auch [mm] $u_y [/mm] = 0$.
Also sind alle partiellen Ableitungen 0.
> Damit wären u und v konstant, und somit auch f und
> [mm]\overline{f}![/mm]
>
> Damit zeige ich, dass f konstant ist, also auch |f|.
Genau.
> Ich hatte eigentlich die Äquivalenz dreier Aussagen zu
> zeigen,
>
> (a) f konstant
> (b) |f| konstant
> (c) [mm]\overline{f}[/mm] holomorph
>
> ich konnte (b) [mm]\to[/mm] (a) und (a) [mm]\to[/mm] (c) beweisen.
> Ich hatte gehofft, (c) [mm]\to[/mm] (b) direkt beweisen zu können,
> so habe ich nun aber (c) [mm]\to[/mm] (a) [mm]\to[/mm] (b)
... was ja gerade (c) [mm] $\to$ [/mm] (b) ist.
> Da (a) [mm]\to[/mm] (b) aber trivial ist, habe ich nun eben
> (b) [mm]\gdw[/mm] (a) [mm]\gdw[/mm] (c).
>
> Sind meine Argumentation und meine Beweiskette so korrekt?
Ja.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Sa 12.05.2007 | | Autor: | BertanARG |
Ich habe mir jetzt auch deinen Hinweis nochmal angesehen.
Mit
f(x+iy)=u(x,y)+i*v(x,y) und
|f(x+iy)|=g(x,y)+i*h(x,y)
erhalte ich wegen
[mm] |f(x+iy)|=\wurzel{u(x,y)^{2}+v(x,y)^{2}}
[/mm]
für
[mm] g(x,y)=\wurzel{u(x,y)^{2}+v(x,y)^{2}} [/mm] und
h(x,y)=0
Aus den CRD folgt dann:
[mm] g_{x}=h_{y}=0
[/mm]
[mm] g_{y}=-h_{x}=0
[/mm]
Und der Rest der Argumentation läuft dann wieder analog.
Danke für eure Hilfe
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