Holomorphe Funktionen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Mi 10.12.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob es eine in [mm] $\Delta:=\Delta_1(0)$ [/mm] holomorphe Funktion [mm] $f_i:\Delta\to\mathbb{C}$ [/mm] $(i=1,2,3,4)$ gibt, welche die folgenden Aussagen erfüllt:
(1) [mm] $f_1\left(\frac{1}{n}\right)=(-1)^n$ [/mm] für jedes [mm] $n\in\mathbb{N}$, $n\geq [/mm] 2$.
(2) [mm] $f_2\left(\frac{1}{n}\right)=(-1)^n\frac{1}{n}$ [/mm] für jedes [mm] $n\in\mathbb{N}$, $n\geq [/mm] 2$.
(3) [mm] $f_3^{(k)}\left(0\right)=k^k(k!)$ [/mm] für jedes [mm] $k\in\mathbb{N}$, $k\geq [/mm] 1$.
(4) [mm] $|f_4^{(k)}(0)|=\frac{k!}{k^2}$ [/mm] für jedes [mm] $k\in\mathbb{N}$, $k\geq [/mm] 1$. |
Hallo zusammen,
weiß leider bei dieser Aufgabe überhaupt nicht, mit welchen Sätzen man diese Aussagen zeigen soll. Ich vermute mal, dass es mit dem Satz über die beliebige komplexe Differenzierbarkeit holomorpher Funktion zusammenhängt...aber diesen Zusammenhang sehe ich leider nicht Wäre nett, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Vielen Dank und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Mi 10.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Zu (1)
$ [mm] f_1\left(\frac{1}{n}\right)=(-1)^n [/mm] $ für jedes $ [mm] n\in\mathbb{N} [/mm] $, $ [mm] n\geq [/mm] 2 $
(1/n) ist eine Nullfolge, wenn [mm] f_1 [/mm] holomorph wäre, so wäre [mm] f_1 [/mm] auch stetig,
also f(1/n) --> f(0) (n--> [mm] \infty)
[/mm]
Wegen [mm] f_1(1/n) [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm] ist ( [mm] f_1(1/n)) [/mm] aber divergent, also kann [mm] f_1 [/mm] nicht holomorph sein (nicht einmal stetig)
Bei (3) und (4) denke an Potenzreihenentwicklung um 0
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 So 14.12.2008 | | Autor: | grenife |
Hallo Fred,
erstmal vielen Dank für Deine Antworten. An sowas simples wie die Folgenstetigkeit hab ich gar nicht gedacht aber klar, dann leuchtet (1) sofort ein. Bei (2) komme ich leider nicht so recht weiter, bei (3) und (4) würde ich Deinem Rat folgen und erstmal durch Potenzreihen definierte holomorphe Funktionen suchen, deren Koeffizienten die besagten Bedingungen erfüllen. Das hast Du ja vermutlich gemeint oder?
Vielen Dank und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:10 Mo 15.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> erstmal vielen Dank für Deine Antworten. An sowas simples
> wie die Folgenstetigkeit hab ich gar nicht gedacht aber
> klar, dann leuchtet (1) sofort ein. Bei (2) komme ich
> leider nicht so recht weiter, bei (3) und (4) würde ich
> Deinem Rat folgen und erstmal durch Potenzreihen definierte
> holomorphe Funktionen suchen, deren Koeffizienten die
> besagten Bedingungen erfüllen. Das hast Du ja vermutlich
> gemeint oder?
Ja
Zu (2):
Angenommen es gibt eine holomorphe Funktion f mit f(1/n) = [mm] (-1)^n [/mm] 1/n ( n [mm] \in \IN)
[/mm]
Dann ist f in 0 stetig, also f(0) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(1/n) [/mm] = 0,
also
f'(0) [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f(1/n)-f(0)}{1/n}, [/mm] aber [mm] \bruch{f(1/n)-f(0)}{1/n}= \bruch{(-1)^n1/n }{1/n} [/mm] = [mm] (-1)^n,
[/mm]
Widerspruch
FRED
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