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| Aufgabe | f: U [mm] \to \IC [/mm] heißt komplex differenzierbar in [mm] z_0, [/mm] wenn der Grenzwert
[mm] \limes_{z\rightarrow z_0} \bruch{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} [/mm] existiert.
Ist f in jedem [mm] z_0 [/mm] der offenen Teilmenge U differenzierbar, so heißt f holomorph in U. |
Hallo,
ich würde gerne wissen, weswegen in sämtlichen Sätzen über Holomorphie die Menge U stets offen sein muss. Kann man sich das irgendwie veranschaulichen?
Wenn ich an den Differenzquotienten im eindimensionalen reellen Fall denke, so kann ich mir sehr wohl die Linearisierung der Funktion an ihrem Randpunkt vorstellen. Warum ist also die Offenheit notwendig?
Grüße und danke schon mal
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Mi 13.02.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
ich denke, das ist vor allem ein Probelm der Grenzwertbildung.
Im reellen Fall ist es relativ einfach vom "zweiseitigen" Grenzwert, den man ja im Innern einer Menge untersuchen muss, auf den "einseitigen" Grenzwert am Rand der Menge zu reduzieren - wobei man ja auch im reellen Fall zumindest eine "halbe" Umgebung des zu untersuchenden Punktes haben muss, Differenzeirbarkeit in einem isolierten Punkt macht keinen wirklichen Sinn....
Im komplexen sieht die Sache da schon anders aus: bei einem inneren Punkt müssen anschaulich gesprochen für die Existenz des Grenzwertes ja die Grenzwerte "aus allen Richtungen" existieren und übereinstimmen. Wie soll das ganze dann bei einem Randpunkt gehandhabt werden? betrachtet man da nur alle Richtungen, die ins Innere der Menge zeigen???
Ich habe jetzt gerade kein geeignetes Nachschlagewerk zur Hand, aber ich würde mal schätzen, dass auch der Grenzwert einer Funktion im [mm] \IR^2 [/mm] nur auf offenen Mengen definiert ist.
Damit sich auch die noch zu Wort melden, die es besser wissen als ich lasse ich die Frage mal auf "teilweise beantwortet".
Gruß
piet
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 15.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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