Homöomorphismus, induziert < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei (M,d) ein metrischer raum und h die aus d beschränkte Metrik auf M
h(x,y):= [mm] \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}
[/mm]
Zeige dass die von d und h auf M induzierten Topologien homöomorph sind. |
Hallo
ZZ.:
[mm] id_M [/mm] : (M, [mm] \tau_d) [/mm] -> (M, [mm] \tau_h [/mm] ),
x [mm] \to [/mm] x Homöomorphismus
ZZ.: [mm] id_M [/mm] stetig, bij und umkehrabbildung stetig.
[mm] \tau_d [/mm] = [mm] \{ A \subseteq M | A offen bzgl. (\*)\}
[/mm]
(*) A offen wenn es [mm] \forall [/mm] x [mm] \exists \epsilon [/mm] >0: [mm] U_\epsilon [/mm] (x) = [mm] \{ y \in M: d(x,y) < \epsilon\} \subseteq [/mm] A
[mm] id_M [/mm] stetig:
Für Y [mm] \subseteq [/mm] M offen (bezüglich [mm] \tau_h [/mm] ) ZZ.: [mm] id_M^{-1} [/mm] (Y) offen bezüglich [mm] \tau_d [/mm]
[mm] id_m^{-1} [/mm] (Y)= [mm] \{ t \in M | id_M (t) = t \in Y \}
[/mm]
Vor.:Y [mm] \subseteq [/mm] M offen d.h. [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] Y [mm] \exists \epsilon>0 [/mm] : [mm] U_\epsilon [/mm] (y)= [mm] \{ x \in M : h(x,y) < \epsilon \} \subseteq [/mm] Y
Nehme beliebige t [mm] \in id_M^{-1} [/mm] (Y)
also [mm] (id_M [/mm] (t)=t [mm] \in [/mm] Y)
da t [mm] \in [/mm] Y -> [mm] \exists \epsilon>0 [/mm] : [mm] U_\epsilon [/mm] (t) [mm] \subseteq [/mm] Y
Ich weiß wenn ich Konvergenz bezüglich h auch Konvergenz bez d habe und umgekehrt (aus einen früheren Bsp)
Hier stecke ich..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:04 Di 07.05.2013 | | Autor: | fred97 |
Nimm mal an, Du hast eine Folge [mm] (d_n) [/mm] in [mm] \IR [/mm] mit [mm] d_n \ge [/mm] 0 für alle n.
Wir basteln eine neue Folge [mm] (h_n):
[/mm]
[mm] h_n:=\bruch{d_n}{1+d_n}.
[/mm]
Dann ist [mm] h_n \ne [/mm] 1 für alle n und
[mm] d_n:=\bruch{h_n}{1-h_n_n} [/mm] für alle n.
Ich denke, nun sieht man:
[mm] (d_n) [/mm] ist eine Nullfolge [mm] \gdw (h_n) [/mm] ist eine Nullfolge.
FRED
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Hi
Folgenstetigkeit stimmt doch i.A. nicht mit der Stetigkeit überein nur z.B. in metrischen Räumen. Ich spreche hier von Topologien die durch die Metrik induziert werden. Und da weiß ich dies nicht!?
1) [mm] id_M [/mm] stetig
ZZ.: [mm] \forall [/mm] B [mm] \in \tau_h [/mm] => [mm] id_M^{-1} [/mm] (B) [mm] \in \tau_d [/mm] in M
Wegen Vor.: [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \exists \epsilon>0: U_\epsilon [/mm] (x) = [mm] \{ y \in M | h(x,y)= \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} < \epsilon \} \subseteq [/mm] B
$ [mm] id_M^{-1} [/mm] $ (B)= $ [mm] \{ t \in M | id_M (t) = t \in B \} [/mm] $
ZZ.: [mm] \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] B [mm] \exists \epsilon>0 [/mm] : [mm] U_\epsilon [/mm] (t) = [mm] \{ s \in M | d(x,y) < \epsilon \} \subseteq [/mm] B
Was hier zuzeigen ist: Wenn die Epsilonumgebung bez, h in B ist, dass ist auch die Epsilonumgebung bez d in B.
Ich weiß, dass eine Folge bez. h konvergent ist genau dann wenn sie bez. d konvergent ist.
Aber ist damit der Beweis erledigt? Ich bin noch nicht ganz sicher..
2) M-> M bijektiv mit x->x klar
3)ZZ.: [mm] \forall [/mm] A [mm] \in \tau_d [/mm] , A [mm] \subseteq [/mm] M => [mm] (id_M^{-1})^{-1} [/mm] (A) [mm] \in \tau_h
[/mm]
Wegen Vor.: [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \exists \epsilon>0: U_\epsilon [/mm] (x) = [mm] \{ y \in M | d(x,y) < \epsilon \} \subseteq [/mm] A
Aber, wo ich unsicher bin: [mm] (id_M^{-1})^{-1} [/mm] (A) = [mm] \{ t \in M | id_M^{-1} (t) \in A \} [/mm] = [mm] \{ t \in M | t \in A \} [/mm]
Analog
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:12 Fr 10.05.2013 | | Autor: | Helbig |
> Hi
> Folgenstetigkeit stimmt doch i.A. nicht mit der Stetigkeit
> überein nur z.B. in metrischen Räumen. Ich spreche hier
> von Topologien die durch die Metrik induziert werden. Und
> da weiß ich dies nicht!?
Hallo theresetom,
Doch! Ein topologischer Raum, dessen Topologie durch eine Metrik induziert wurde, ist ein metrischer Raum!
Abgesehen davon kannst Du auch mit der guten alten [mm] $\epsilon-\delta$-Definition [/mm] von Weierstraß arbeiten.
Gruß,
Wolfgang
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Hallo,
Danke
Aber was ist nun mit meiner Argumentation aus dem vorigen Beitrag?
Ist diese nicht okay?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:14 Sa 11.05.2013 | | Autor: | Helbig |
> Hallo,
> Danke
> Aber was ist nun mit meiner Argumentation aus dem vorigen
> Beitrag?
> Ist diese nicht okay?
Ich konnte sie nicht nachvollziehen. Wir müssen unter anderem zeigen, daß [mm] $id_M$ [/mm] "in beiden Richtungen" stetig ist, und das bedeutet nichts anderes als [mm] $\tau_d [/mm] = [mm] \tau_h\,.$ [/mm] Dies hast Du doch nicht nachgewiesen, oder?
Grüße,
Wolfgang
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Ich habe gezeigt Urbild offener Mengen sind offen.
Was ist unverständlich?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:50 Mo 13.05.2013 | | Autor: | Helbig |
> Ich habe gezeigt Urbild offener Mengen sind offen.
> Was ist unverständlich?
Na ja, Du hast jeweils angegeben, was zu zeigen ist, ohne es auch zu zeigen.
Und dann sind Deine Formulierungen unnötig kompliziert, indem Du [mm] $id_M^{-1}$ [/mm] schreibst, obwohl dies nichts anderes als [mm] $id_M$ [/mm] ist. Dies irritiert. Es reicht zu erwähnen, daß die Identität ihre eigene Inverse ist.
Grüße,
Wolfgang
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ABer wenn ich weiß dass wenn eine folge bezüglich h genaudann konvergiert wenn sie bezüglich d konvergiert ist doch alles gezeigt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:48 Di 14.05.2013 | | Autor: | Helbig |
> ABer wenn ich weiß dass wenn eine folge bezüglich h
> genaudann konvergiert wenn sie bezüglich d konvergiert ist
> doch alles gezeigt?
Ja, wenn..., Aber ich habe nicht gesehen, daß Du dieses "wenn" begründet hast.
Grüße,
Wolfgang
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Wie kommt das mit die Nullfolgen?
Reicht nicht wenn [mm] x_n [/mm] ->x bzgl d
-> [mm] h(x_n,x) [/mm] ->0
Und umgekehrt?
Hat man dann gezeigt [mm] \tau_d [/mm] = [mm] \tau_h [/mm] ?
Wie kommst du auf die Nullfolgen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 15.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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