Homogene DGL Vektorraum < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Mi 07.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Hallo,
ich soll zeigen das die Lösung von derhomogene DGl y'=17y ein Vektorraum ist bzw das die inhomogene DGL y'=17y+17 kein Vektorraum ist
Ich hab mir gedacht ich löse es das ich von den Eigenschaften eines Vektorraumes ausgehe und dieses dann überprüfe .Also abgeschlossen bezüglich der Addition und der skalareb Multiplikation.
Die Lösungen :
y=ce^(17x)
[mm] \lambda (ce^{17x})=(\lambda [/mm] c)e^(17x)
(ce^(17x))+(ae^(17x))=(a+c)e^(17x)
1*(ce^(17x))=ce^(17x)
Lösung inhomogene DGL
y=ce^(17x)-1
Aber komischerweise hat auch diese Lösung alle Eigenschaften oder ist schon mein Ansatz nicht richtig??
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Mi 07.03.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] Lösungen der homogenen DGL y'=17*y sind dann gilt auch
[mm] (y_1+y_2)'=17*(y_1+y_2)
[/mm]
Ebenso gilt [mm] (\alpha*y)'=17*(\alpha*y)
[/mm]
Also bilden die Lösungen der homogenen DGL einen Vektorraum.
Die Lösung der inhomogenen DGL y'=17*y+17 lautet [mm] y_H-1 [/mm] mit [mm] y_H [/mm] ist Lösung der homogenen DGL.
Sind [mm] y_{I_1} [/mm] und [mm] y_{I_2} [/mm] zwei Lösungen der inhomogenen DGL dann gilt
[mm] \left(y_{I_1}+y_{I_2}\right)'=17*y_{I_1}+17+17*y_{I_2}+17=17*\left(y_{I_1}+y_{I_2}\right)+34
[/mm]
Also ist [mm] y_{I_1}+y_{I_2} [/mm] keine Lösung der inhomogenen DGL.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mi 07.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Das Ergebnis klingt zwar einleuchtend aber ich verstehe nicht ganz die 2 Bedingungen : [mm] (y_1+y_2)'=17\cdot{}(y_1+y_2) [/mm] und [mm] (\alpha\cdot{}y)'=17\cdot{}(\alpha\cdot{}y) [/mm] ?
Ich kenn nämlich nur die von mir geschriebenen Eigenschaften ,die ich aus nen Skript habe darum wollte ich es mit diesen Eigenschaften zeigen oder funktioniert das nicht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:53 Do 08.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Das Ergebnis klingt zwar einleuchtend aber ich verstehe
> nicht ganz die 2 Bedingungen :
> [mm](y_1+y_2)'=17\cdot{}(y_1+y_2)[/mm] und
> [mm](\alpha\cdot{}y)'=17\cdot{}(\alpha\cdot{}y)[/mm] ?
Obiges zeigt: sind [mm] y_1, y_2, [/mm] y Lösungen der homogenen Gleichung und ist [mm] \alpha \in \IR, [/mm] so sind [mm] y_1+y_2 [/mm] und [mm] $\alpha*y$ [/mm] ebenfalls Lösungen der homogenen Gleichung.
>
> Ich kenn nämlich nur die von mir geschriebenen
> Eigenschaften ,die ich aus nen Skript habe darum wollte
> ich es mit diesen Eigenschaften zeigen oder funktioniert
> das nicht?
>
Doch. Jede Lösung der homogenen Gleichung hat die Form [mm] y(x)=ce^{17x} [/mm] mit c [mm] \in \IR
[/mm]
Damit kannst Du ebenfalls nachprüfen, dass gilt:
sind [mm] y_1, y_2, [/mm] y Lösungen der homogenen Gleichung und ist [mm] \alpha \in \IR, [/mm] so sind [mm] y_1+y_2 [/mm] und [mm] $\alpha*y$ [/mm] ebenfalls Lösungen der homogenen Gleichung.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Do 08.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Okay ich glaube ich habe es verstanden.
Wie kann ich nun aus diesen Vektorraum die Dimension bzw eine Basis finden?
|
|
|
| |
|
Hallo racy90,
> Okay ich glaube ich habe es verstanden.
>
> Wie kann ich nun aus diesen Vektorraum die Dimension bzw
> eine Basis finden?
Die Basis einer homogenen DGL besteht aus den Lösungsfunktionen.
Daher ist die Anzahl dieser Lösungsfunktionen die Dimension des Vektorraums.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Do 08.03.2012 | | Autor: | racy90 |
okay
Ist y=ce^(17x) meine Lösungsfunktion und wie sieht die dann als Vektor aus?
Für mein Bsp umgelegt heißt das dann wohl ( y=ce^(17x)) ,dass ich einen Vektorraum der Dim 1 habe oder etwa nicht?
|
|
|
| |
|
Hallo racy90,
> okay
>
> Ist y=ce^(17x) meine Lösungsfunktion und wie sieht die
> dann als Vektor aus?
>
Die Lösungsfunktion gibst Du ohne das "c" an.
Das ist kein Vektor.
> Für mein Bsp umgelegt heißt das dann wohl ( y=ce^(17x))
> ,dass ich einen Vektorraum der Dim 1 habe oder etwa nicht?
>
Ja.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
