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| Aufgabe | Bestimmen Sie für Konstanten K >0, P>0 die Lösung der Differentialgleichung
[mm] y^{(4)} [/mm] + K*y =0
mit y(x) [mm] \mapsto [/mm] 0, für x [mm] \mapsto \infty [/mm] , y'(0)=0 und y'''(0) = -P. |
Hallo,
kann mir bitte jemand bei der obigen Aufgabe helfen?
Also zuerst muss ich doch das charakteristische Polynom bestimmen um die Nullstellen zu berechnen. Das sind in diesem Falle komplexe Nullstellen, und zwar:
[mm] \lambda^{4} [/mm] = -K
Und wie mache ich nun weiter???
Danke schon mal!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Do 31.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie für Konstanten K >0, P>0 die Lösung der
> Differentialgleichung
>
> [mm]y^{(4)}[/mm] + K*y =0
>
> mit y(x) [mm]\mapsto[/mm] 0, für x [mm]\mapsto \infty[/mm] , y'(0)=0 und
> y'''(0) = -P.
> Hallo,
>
> kann mir bitte jemand bei der obigen Aufgabe helfen?
> Also zuerst muss ich doch das charakteristische Polynom
> bestimmen um die Nullstellen zu berechnen. Das sind in
> diesem Falle komplexe Nullstellen, und zwar:
> [mm]\lambda^{4}[/mm] = -K
Berechne diese 4 (komplexen) Lösungen
Dann sehen wir weiter.
>
> Und wie mache ich nun weiter???
>
> Danke schon mal!
>
> Gruß
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Das ist eine vierfache Nullstelle bei [mm] \pm \wurzel{K}*i
[/mm]
Oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Do 31.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Das ist eine vierfache Nullstelle bei [mm]\pm \wurzel{K}*i[/mm]
>
> Oder?
Nein.
Bestimme [mm] z_0,...,z_3 [/mm] so, dass [mm] z_j^4=-1 [/mm] ist (also die 4. Wurzeln aus -1)
Setze [mm] \lambda_j:=\wurzel[4]{K}*z_j [/mm] (j=0,1,2,3)
Damit hast Du die Lösungen der Gl. [mm] \lambda^4=-K
[/mm]
FRED
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Du meinst mittels "Radizieren von komplexen Wurzeln" ?
Also dann erhalte ich die Nullstellen:
[mm] \lambda_{0} [/mm] = [mm] \wurzel[4]{K} [/mm] * [mm] \wurzel[4]{1}*[cos(\bruch{\alpha}{4}) [/mm] + [mm] i*sin(\bruch{\alpha}{4}) [/mm] ]
[mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] \wurzel[4]{K} [/mm] * [mm] \wurzel[4]{1}*[cos(\bruch{\alpha}{4} [/mm] + [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] + [mm] i*sin(\bruch{\alpha}{4}+ \bruch{\pi}{2}) [/mm] ]
[mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] \wurzel[4]{K} [/mm] * [mm] \wurzel[4]{1}*[cos(\bruch{\alpha}{4} [/mm] + [mm] \pi) [/mm] + [mm] i*sin(\bruch{\alpha}{4}+ \pi) [/mm] ]
[mm] \lambda_{3} [/mm] = [mm] \wurzel[4]{K} [/mm] * [mm] \wurzel[4]{1}*[cos(\bruch{\alpha}{4} [/mm] + [mm] 3*\bruch{\pi}{2}) [/mm] + [mm] i*sin(\bruch{\alpha}{4}+ 3*\bruch{\pi}{2}) [/mm] ]
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Hier ist [mm] \alpha=0 [/mm] ? Bin mir gerade nicht so sicher...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Do 31.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hier ist [mm]\alpha=0[/mm] ? Bin mir gerade nicht so sicher...
Nicht raten ! Denken. Welches Argument hat -1 ?
FRED
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Ok, habe noch mal nachgeschlagen....ich glaube es ist so:
Ich habe ja [mm] r=\wurzel[4]{1} [/mm] >0 , was in der Gleichung a + ib bei mir das b ist und a=0, und deswegen ergibt sich für den Winkel [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Ok, habe noch mal nachgeschlagen....ich glaube es ist so:
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> Ich habe ja [mm]r=\wurzel[4]{1}[/mm] >0 , was in der Gleichung a +
> ib bei mir das b ist und a=0, und deswegen ergibt sich für
> den Winkel [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
Wer soll dieses Kuddelmuddel verstehen?!
Ist das ein Satz?
Das liest sich wie Gestammel ...
Du wirst doch das Argument von [mm]z=-k=-k+0\cdot{}i[/mm], wobei [mm]k>0[/mm] ist, bestimmen können.
[mm]k[/mm] ist eine positive reelle Zahl, [mm]-k[/mm] also negativ reell.
Wo liegt denn das im Koordinatensystem? Doch wohl auf der negativen reellen Achse. Welchen Winkel schließt das mit der pos. reellen Achse ein?
Das kannst du ablesen und brauchst nix ausrechnen.
Nochmal: zu lösen ist [mm]\lambda^4=-k[/mm]
Dazu bestimmst du [mm]|-k|=k[/mm] und [mm]\alpha=\operatorname{arg}(-k)[/mm] - siehe oben
Dann ergeben sich die konkreten 4 Lösungen mit deinen obigen richtigen Ausdrücken für [mm]\lambda_{0,1,2,3}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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