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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Mopsi |
| Aufgabe | Bestimme jeweils die allgemeine Lösung für die lineare DLG mit den konstanten Koeffizienten:
1. [mm]y'' + 2y' - 3y = 0
[/mm]
2. [mm]y'' - 2y' +2y = 0[/mm] |
Guten Abend an alle Helfer :)
Zu 1:
Ich tue mir leider sehr schwer mit den DLG.. :/
Ich suche nun also eine Funktion, die diese Gleichung erfüllt.
Einfache Einführungsbeispiele (1.Ordnung) schaffe ich, doch diese hier(2.Ordnung oder 3.Ordnung) schaffe ich nicht.
Was ist hier denn der allgemeine Ansatz?
Ich würde jetzt einfach raten und mir die Eigenschaft der allgemeinen e-Funktion zu Nutze machen, dass die Ableitung dieser wieder die e-Funktion ist.
Also:
[mm]y'' + 2y' - 3y = 0 \rightleftharpoons e^x + 2e^x - 3e^x = 0
[/mm] mit [mm]y = e^x = y' = y''[/mm]
Aber wie kommt man darauf? Ich muss in einer Klausur doch einen Weg zu dieser Lösung zeigen, oder nicht? Darf man in der Hochschule überhaupt noch "raten"?
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen.
Zu 2:
Hier komme ich mir raten schon nicht mehr weiter :-(
Mopsi
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Hallo mopsi,
Raten darfst du, das zeugt aber nicht unbedingt von Kenntnis des Sachverhaltes.
Deine Intuition mit [mm] e^x [/mm] ist schon einmal sehr gut.
Allgemeines Vorgehen:
Bei DGL's mit konstanten Koeffizienten wählt man den Ansatz: [mm] y(x)=e^{\lambda x}
[/mm]
Dabei ist [mm] \lambda\in\IC [/mm] eine noch zu bestimmende Zahl. Dieser Ansatz führt dich nämlich immer auf ein Polynom vom Grade der DGL. In deinem Fall bekommst du also eine quadratische Gleichung, die du dann zu lösen hast.
Bedenke: Du suchst alle (!) Lösung (in der Aufgabe steht: allgemeine Lösung). Daher ergibt sich noch ein Faktor vor deine Lösung. Dieser ermittelt sich dann immer durch die Anfangswerte, sofern sie gegeben sind.
Am besten du verfolgst mal obigen Ansatz, und schaust, wie weit du kommst. Poste einfach deine Rechenschritte und frage nach, wenn du dir unsicher bist.
Also noch einmal:
1.) Wähle [mm] y=e^{\lambda x} [/mm] und setze in die DGL ein.
2.) Löse die entstehende quadratische Gleichung.
3.) Dann sehen wir weiter...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Mopsi |
Hallo Richie und ein liebes Dankeschön für deine tolle Antwort!
> 1.) Wähle [mm]y=e^{\lambda x}[/mm] und setze in die DGL ein.
[mm]y=e^{\lambda x}[/mm]
[mm]y'=\lambda e^{\lambda x}[/mm]
[mm]y''=\lambda^2 e^{\lambda x}[/mm]
[mm]y'' + 2y' - 3y = 0 \iff\lambda^2 e^{\lambda x} + 2 \lambda e^{\lambda x} -3 e^{\lambda x} = 0 \iff (\lambda^2 + 2\lambda - 3) e^{\lambda x} = 0[/mm]
Das sieht wie das charakteristische Polynom aus, dass ich aus der linearen Algebra kenne.
> 2.) Löse die entstehende quadratische Gleichung.
Lösungen(pq-Formel):
[mm] \lambda_1 = 1[/mm]
[mm] \lambda_2 = -3[/mm]
Das heißt für [mm]y = e^x[/mm] und [mm]y = \frac{1}{e^3x}[/mm] ist die DLG erfüllt?
Zu 2:
Habe das gleiche Schema wieder abgearbeitet, nur hat die quadratische Gleichung keine Lösungen, zumindest keine reale.
Ich erhalte:
[mm] \lambda_1 = 1+i[/mm]
[mm] \lambda_2 = 1-i[/mm]
Das heißt für [mm]y = e^{x+ix}[/mm] und [mm]y = e^{x-ix}[/mm] ist die DLG erfüllt.
Danke, danke und nochmal danke Richie :)))
Mopsi
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Hallo Mopsi,
> Hallo Richie und ein liebes Dankeschön für deine tolle
> Antwort!
>
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> > 1.) Wähle [mm]y=e^{\lambda x}[/mm] und setze in die DGL ein.
>
> [mm]y=e^{\lambda x}[/mm]
> [mm]y'=\lambda e^{\lambda x}[/mm]
> [mm]y''=\lambda^2 e^{\lambda x}[/mm]
>
> [mm]y'' + 2y' - 3y = 0 \iff\lambda^2 e^{\lambda x} + 2 \lambda e^{\lambda x} -3 e^{\lambda x} = 0 \iff (\lambda^2 + 2\lambda - 3) e^{\lambda x} = 0[/mm]
>
> Das sieht wie das charakteristische Polynom aus, dass ich
> aus der linearen Algebra kenne.
>
> > 2.) Löse die entstehende quadratische Gleichung.
>
> Lösungen(pq-Formel):
>
> [mm]\lambda_1 = 1[/mm]
> [mm] \lambda_2 = -3[/mm]
>
>
> Das heißt für [mm]y = e^x[/mm] und [mm]y = \frac{1}{e^3x}[/mm] ist die
> DLG erfüllt?
>
Die allgemeine Lösung dieser DGL ergibt sich dann zu:
[mm]y\left(x\right)=c_{1}*e^{x}+c_{2}*e^{-3x}, \ c_{1}, \ c_{2} \in \IR[/mm]
> Zu 2:
>
> Habe das gleiche Schema wieder abgearbeitet, nur hat die
> quadratische Gleichung keine Lösungen, zumindest keine
> reale.
>
> Ich erhalte:
> [mm]\lambda_1 = 1+i[/mm]
> [mm] \lambda_2 = 1-i[/mm]
>
> Das heißt für [mm]y = e^{x+ix}[/mm] und [mm]y = e^{x-ix}[/mm] ist die
> DLG erfüllt.
>
Falls komplexe Lösungen erwünscht sind, dann stimmt das.
[mm]y\left(x\right)=d_{1} *e^{x-ix}+d_{2} *e^{x+ix}, \ d_{1}, \ d_{2} \in \IC[/mm]
In der Regel ist man aber an reellen Lösungen interessiert.
Dann lösen jeweils Real- und Imaginärteil der obigen Lösung die DGL.
Die reelle Lösung ergibt sich dann zu
[mm]y\left(x\right)=k_{1}*e^{x}*\sin\left(x\right)+k_{2}*e^{x}*\cos\left(x\right), \ k_{1}, \ k_{2} \in \IR[/mm]
> Danke, danke und nochmal danke Richie :)))
>
> Mopsi
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Mopsi |
Hallo nochmal MathePower und danke für deine tolle Antwort :)
>
> Die allgemeine Lösung dieser DGL ergibt sich dann zu:
>
> [mm]y\left(x\right)=c_{1}*e^{x}+c_{2}*e^{-3x}, \ c_{1}, \ c_{2} \in \IR[/mm]
Wieso ist das jetzt die Summe von den beiden Lösungen der quadratischen Gleichung? Ich hätte gedacht es ist entweder die oder die andere.
Warum die Summe?
> Die reelle Lösung ergibt sich dann zu
>
> [mm]y\left(x\right)=k_{1}*e^{x}*\sin\left(x\right)+k_{2}*e^{x}*\cos\left(x\right), \ k_{1}, \ k_{2} \in \IR[/mm]
Gleiche Frage, wie oben.
Danke :)
Mopsi
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Hallo Mopsi,
> Hallo nochmal MathePower und danke für deine tolle Antwort
> :)
>
> >
> > Die allgemeine Lösung dieser DGL ergibt sich dann zu:
> >
> > [mm]y\left(x\right)=c_{1}*e^{x}+c_{2}*e^{-3x}, \ c_{1}, \ c_{2} \in \IR[/mm]
>
> Wieso ist das jetzt die Summe von den beiden Lösungen der
> quadratischen Gleichung? Ich hätte gedacht es ist entweder
> die oder die andere.
> Warum die Summe?
>
Weil damit alle möglichen Lösungen abgedeckt sind.
> > Die reelle Lösung ergibt sich dann zu
> >
> >
> [mm]y\left(x\right)=k_{1}*e^{x}*\sin\left(x\right)+k_{2}*e^{x}*\cos\left(x\right), \ k_{1}, \ k_{2} \in \IR[/mm]
>
> Gleiche Frage, wie oben.
>
Siehe oben.
> Danke :)
>
> Mopsi
Gruss
MatrhePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Mopsi |
> > > Die allgemeine Lösung dieser DGL ergibt sich dann zu:
> > >
> > > [mm]y\left(x\right)=c_{1}*e^{x}+c_{2}*e^{-3x}, \ c_{1}, \ c_{2} \in \IR[/mm]
>
> >
> > Wieso ist das jetzt die Summe von den beiden Lösungen der
> > quadratischen Gleichung? Ich hätte gedacht es ist entweder
> > die oder die andere.
> > Warum die Summe?
> Weil damit alle möglichen Lösungen abgedeckt sind.
Aber wenn ich allg. zwei Lösungen einer quadratischen Gleichung erhalten habe, dann habe ich sie auch nicht addiert?
Okay, das waren auch keine DGL....
Aber irgendwie erschließt sich mir das immer noch nicht.. :/
Wieso ist die Summe der beiden Lösungen auch eine Lösung?..
Mopsi
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> > > > Die allgemeine Lösung dieser DGL ergibt sich dann zu:
> > > >
> > > > [mm]y\left(x\right)=c_{1}*e^{x}+c_{2}*e^{-3x}, \ c_{1}, \ c_{2} \in \IR[/mm]
>
> >
> > >
> > > Wieso ist das jetzt die Summe von den beiden Lösungen
> der
> > > quadratischen Gleichung? Ich hätte gedacht es ist
> entweder
> > > die oder die andere.
> > > Warum die Summe?
>
> > Weil damit alle möglichen Lösungen abgedeckt sind.
>
> Aber wenn ich allg. zwei Lösungen einer quadratischen
> Gleichung erhalten habe, dann habe ich sie auch nicht
> addiert?
Hallo Mopsi,
Eine quadratische Gleichung und eine DGL unterscheiden sich auch ziemlich stark voneinander ;)
Aber das ist gar nicht so sehr auf DGL bezogen. Es gilt ganz allg:
Für homogene lineare Gleichungen gilt:
Alle Linearkombinationen von Lösungen sind wieder Lösungen der Gleichung.
Mache dir dies einfach klar:
4x-2y = 0. dies ist beispielsweise für x = 1 und y = 2 erfüllt. Es ist offensichtlich auch für: [mm] x_{1} [/mm] = 2 und [mm] y_{1} [/mm] = 4 erfüllt. Und nun betrachte zb:
[mm] x+x_{1} [/mm] = 3 und [mm] y+y_{1} [/mm] = 6. Wie du siehst löst dies auch die Gleichung.
Dieses Prinzip nennt man das sog. SUPERPOSITIONSPRINZIP.
Naja und dieses findet auch bei deiner homogenen lin. Diffgleichung wie es aussieht seine Gültigkeit :)
Gruß
Thomas
Ps: DGL sind natürlich immer wesentlich komplexer - aber nur zur simplen Intuition wollte ich es anhand der oben angeführten einfachen Gleichung zeigen.
> Okay, das waren auch keine DGL....
> Aber irgendwie erschließt sich mir das immer noch nicht..
> :/
> Wieso ist die Summe der beiden Lösungen auch eine
> Lösung?..
>
> Mopsi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:26 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Mopsi |
Heeey Thomas :)
Ich hoffe es geht dir gut :) Vielen Dank für deine Antwort!
Genau so ein einfaches Beispiel habe ich gebraucht, um es mir klar zu machen :)
Und dann hast du mir das Prinzip auch noch genannt, das heißt ich habe wieder dazugelernt.
Dankeschön :)
Mopsi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Danke bestens, ich hoffe dir auch ;)
Gerne gerne, noch viel Erfolg mit der Mathematik.
Lg THomas :)
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