Homogene Probleme - LGS < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Mi 01.04.2009 | | Autor: | joe_cole |
| Aufgabe | Geben sie die Lösung(en) für
x1 3x2 2x3 = 0
-x1 0 2x3 = 0
2x1 x2 -x3 = 0
und
x1 -2x2 0 = 0
2x1 x2 -5x3 = 0
-3x1 0 6x3 = 0
an. |
Hallo.
Wir sollen uns mit LGSes beschäftigen und zwar mit den "homogenen" Probleme.
Mein Problem ist, dass ich immer bei meinen Rechnungen die Lösungsmenge = {0;O;O} erhalte. Zwar hat ja jedes homogene LGS die Lösung "0", jeodh finde ich keine andere als diese.
Was mache ich falsch?
Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank.
Joe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Mi 01.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Geben sie die Lösung(en) für
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> x1 3x2 2x3 = 0
> -x1 0 2x3 = 0
> 2x1 x2 -x3 = 0
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> und
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> x1 -2x2 0 = 0
> 2x1 x2 -5x3 = 0
> -3x1 0 6x3 = 0
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> an.
> Hallo.
> Wir sollen uns mit LGSes beschäftigen und zwar mit den
> "homogenen" Probleme.
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> Mein Problem ist, dass ich immer bei meinen Rechnungen die
> Lösungsmenge = {0;O;O} erhalte. Zwar hat ja jedes homogene
> LGS die Lösung "0", jeodh finde ich keine andere als
> diese.
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> Was mache ich falsch?
> Kann mir jemand weiterhelfen?
>
> Vielen Dank.
>
> Joe
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
vornerweg: Du kannst Deine Rechnung auch ![[]](/images/popup.gif) Brünner, Gleichungssysteme kontrollieren lassen.
Ich hab's jetzt ein wenig anders gemacht:
Oben hast Du mit [mm] $\vec{0}:=\vektor{0\\0\\0}$ [/mm] und [mm] $\vec{x}:=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}$ [/mm] jeweils das Gleichungssystem
[mm] $$A*\vec{x}=\vec{0}$$
[/mm]
zu lösen, wobei hier jeweils [mm] $A\,$ [/mm] eine quadratische $3 [mm] \times [/mm] 3$-Matrix ist.
Im ersten Fall ist [mm] $A=\pmat{1 & 3 & 2\\ -1 & 0 & 2\\ 2 & 1 & -1}$ [/mm] und damit (laut Brünner, Determinante; ich hab's nicht (!) nachgerechnet) [mm] $\det(A)=5 \not=0\,.$ [/mm]
Ob und welche Kenntnisse Du über Determinanten hast, weiß ich nicht, aber Du darfst mir glauben, wenn ich Dir sage: Daraus folgt, dass [mm] $A\,$ [/mm] invertierbar ist und somit ist hier wirklich [mm] $\vektor{0\\0\\0}$ [/mm] die einzige Lösung.
Bei Deinem zweiten Gleichungssystem ist [mm] $A=\pmat{1 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & -5\\ -3 & 0 & 6}$ [/mm] und damit [mm] $\det(A)=0\,,$ [/mm] woraus folgt, dass [mm] $A\,$ [/mm] nicht invertierbar ist, und damit ist der Lösungsraum von [mm] $A*\vec{x}=\vec{0}$ [/mm] nicht nur der Nullraum, enthält also mehr als nur die Lösung [mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{0\\0\\0}\,$ [/mm] (es wird ein Unterraum des [mm] $\IR^3$ [/mm] sein, der mindestens Dimension [mm] $1\,$ [/mm] hat).
Also:
Bei Deinem zweiten Gleichungssystem wirst Du sicher irgendwo einen Rechenfehler gemacht haben oder irgendwo etwas 'unsauber' gemacht haben.
Aber um das zu kontrollieren und den Fehler zu finden, wäre es sinnvoll, wenn Du Deinen Lösungsweg postest (wenigstens von der zweiten Aufgabe, zur Kontrolle vielleicht auch den bei der ersten Aufgabe). Oder Du läßt Dir bei Brünner, Gleichungssysteme vorrechnen und kontrollierst das ganze dann mit Deiner Rechnung und versuchst, selbst den Fehler zu finden. Ganz, wie Du magst. 
P.S.:
Ein recht einfaches, handliches Programm, was Dir bei solchen Aufgaben auch hilft:
Wimat.
Das hat mir in LA 1 immer wunderbar geholfen, bei den Übungsaufgaben meine blöden Rechenfehler zu finden. 
Gruß,
Marcel
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