Homogener Stab an Federn < Maschinenbau < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Mo 01.09.2014 | | Autor: | Morph007 |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe mal wieder ein kleines Problem. Das Bild zeigt einen dünnen homogenen Stab der Masse m, der reibungsfrei in A gelagert ist und an dem die Federn c1 und c2 befestigt sind. Mehr ist nicht gegeben.
Nun soll ich die Eigenfrequenz des Systems ermitteln. Dazu wollte ich zunächst das Massenträgheitsmoment des Stabes um den Drehpunkt bestimmen, wozu ich den Stab in zwei "zerlegt" habe. Dadurch erhalten ich für das MTM des Stabes:
[mm] J=\bruch{m}{3}*(l_1^2+l_2^2) [/mm]
Werfe ich einen Blick in die Musterlösung, so steht dort für [mm] \omega_0
[/mm]
[mm] \omega_0 = \wurzel{\bruch{3}{m}*\bruch{c_1 l_1^2 + c_2 l_2^2}{l_1^2+l_2^2- l_1 l_2}} [/mm]
Das bedeutet ja, dass bei dem MTM noch irgendwie ein [mm] \bruch{m}{3} * -(l_1*l_2) [/mm] vorkommen muss.
Kann mir jemand erklären wo das herkommt? Den Term für die Steifigkeit [mm]c_1 l_1^2 + c_2 l_2^2[/mm] habe ich auch so raus, nur komme ich nicht auf das oben genannte.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 Mo 01.09.2014 | | Autor: | chrisno |
Ich tippe auf einen Fehler in der Musterlösung. Aber vielleicht findet noch jemand einen Denkfehler bei Deinem Ansatz. Ich finde ihn nicht.
|
|
|
| |
|
Hallo!
Ich habe die Aufgabe nachgerechnet und komme auf das Ergebnis aus der Musterlösung:
Nach Steiner gilt für J:
[mm]J_{Stab}=J_{Stab, MP}+J_{Steiner}[/mm]
[mm]J_{Stab, MP}= \frac{1}{12} m*l^{2}= \frac{1}{12} m*(l_{1}+l_{2})^{2}[/mm]
der Steiner-Anteil ergibt sich aus dem Abstand des Stabmittelpunktes zum Drehpunkt, für diesem gilt daher:
[mm]d = l_{2}-\frac{l_{2}+l_{1}}{2}[/mm]
und damit: [mm]J_{Stab} = \frac{1}{12} m*(l_{1}+l_{2})^{2}+ m*(l_{2}-\frac{l_{2}+l_{1}}{2})^{2}={\color{Bittersweet}\frac{m}{3}*(l_{1}^{2}+l_{1}^{2}-l_{1}*l_{2})}
[/mm]
alles klar?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 Di 02.09.2014 | | Autor: | chrisno |
Du hast recht. Im Ansatz von Morph007 wird die Verteilung der Massen auf die beiden Teilstäbe nicht berücksichtigt. Das Trägheitsmoment lautet in der Formulierung richtig: [mm] $\br{m}{3}\br{l_1}{l_1+l_2}l_1^2 [/mm] + [mm] \br{m}{3}\br{l_2}{l_1+l_2}l_2^2$ [/mm] was auch zur Musterlösung führt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 Di 02.09.2014 | | Autor: | Morph007 |
Der Abstand d ist mir klar - macht Sinn.
Aber wie Du dann unten deinen Term auflöst um auf die Lösung zu kommen ist mir ein Rätsel!
Sprich hier $ [mm] J_{Stab} [/mm] = [mm] \frac{1}{12} m\cdot{}(l_{1}+l_{2})^{2}+ m\cdot{}(l_{2}-\frac{l_{2}+l_{1}}{2})^{2}={\color{Bittersweet}\frac{m}{3}\cdot{}(l_{1}^{2}+l_{1}^{2}-l_{1}\cdot{}l_{2})} [/mm] $ kann ich dir nicht so ganz folgen wie Du von der linken auf die rechte Seite kommst.
Edit: Okay habs, Du hast die binomische Formel vom Steiner-Anteil aufgelöst und die andere nicht.
|
|
|
| |
|
Binomische Formeln anwenden und zusammenfassen, mehr ist es ja eigentlich nicht.
[mm]J_{Stab} = \frac{1}{12} m\cdot{}(l_{1}+l_{2})^{2}+ m\cdot{}(l_{2}-\frac{l_{2}+l_{1}}{2})^{2}=\frac{m}{3}\cdot{}(l_{1}^{2}+l_{1}^{2}-l_{1}\cdot{}l_{2})}
= 1/12 m\cdot{}(l_{1}^{2}+2l_{1}*l_{2}+l_{2}^{2})+ m\cdot{}(l_{2}-\frac{l_{2}+l_{1}}{2})^{2}
=1/12 m\cdot{}(l_{1}^{2}+2l_{1}*l_{2}+l_{2}^{2})+ m\cdot{}(\frac{l_{2}}{2}-\frac{l_{1}}{2})^{2}
=m*(\frac{1}{12}*l_{1}^{2}+\frac{1}{6}*l_{1}*l_{2}+\frac{1}{12}*l_{2}^{2}+\frac{l_{2}^_{2}}{4}-\frac{1}{2}l_1{}*l_{2}+\frac{l_{1}}{4}^{2})[/mm]
Zusammenfassen liefert das Ergebnis.
Edit: Ja genau, aber man kann natürlich auch alles auflösen und dann am Ende zusammenfassen.
|
|
|
|
