Homogenes GLS Lösung < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Summmsel |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass das homogene lineare Gleichungssystem
[mm] a_{11}x_{1} [/mm] + [mm] a_{12}x_{2} [/mm] = 0
[mm] a_{21}x_{1} [/mm] + [mm] a{22}x_{2} [/mm] = 0
genau dann eine nicht-triviale Lösung hat, wenn [mm] a_{11}a_{22} [/mm] = [mm] a_{12}a_{21} [/mm] gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Moin Leute,
ich wüsste gerne wass passiert, wenn [mm] a_{11}a_{22} [/mm] = [mm] a_{12}a_{21}, [/mm] denn momentan kann ich mir nichts darunter vorstellen, was das für die Lösungsmenge bedeutet. Ich kann mich noch überhaupt nicht in die Gestalt von Matrizen hineindenken.
Ich hoffe mir kann jemand behilflich sein.
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Mi 02.11.2011 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie, dass das homogene lineare Gleichungssystem
> [mm]a_{11}x_{1}[/mm] + [mm]a_{12}x_{2}[/mm] = 0
> [mm]a_{21}x_{1}[/mm] + [mm]a{22}x_{2}[/mm] = 0
> genau dann eine nicht-triviale Lösung hat, wenn
> [mm]a_{11}a_{22}[/mm] = [mm]a_{12}a_{21}[/mm] gilt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Moin Leute,
>
> ich wüsste gerne wass passiert, wenn [mm]a_{11}a_{22}[/mm] =
> [mm]a_{12}a_{21},[/mm] denn momentan kann ich mir nichts darunter
> vorstellen, was das für die Lösungsmenge bedeutet. Ich
> kann mich noch überhaupt nicht in die Gestalt von Matrizen
> hineindenken.
Musst du auch nicht.
Die Gleichung [mm]a_{11}x_{1}[/mm] + [mm]a_{12}x_{2}[/mm] = 0 kann auch geschrieben werden als
[mm]a_{11}x[/mm] + [mm]a_{12}y[/mm] = 0 (ich mag diese Darstellung lieber) oder -falls [mm] a_{12}\ne [/mm] 0- als
[mm] y=\bruch{-a_{11}}{a_{12}}x.
[/mm]
Diese Gleichung beschreibt im Koordinatensystem eine Ursprungsgerade.
Die zweite Gleichung beschreibt -falls [mm] a_{22}\ne [/mm] 0- die Gerade [mm] y=\bruch{-a_{21}}{a_{22}}x.
[/mm]
Auch das ist eine Ursprungsgerade.
Zwei Ursprungsgeraden schneiden sich im Punkt (0|0); also ist x=0, y=0 eine (triviale) Lösung des Gleichungssystems. Wenn es noch eine nichttriviale Lösung geben soll, müssen die beiden Geraden mindestens noch einen gemeinsamen Punkt außerhalb des Ursprungs haben. Das klappt aber nur, wenn auch die Anstiege [mm] \bruch{-a_{11}}{a_{12}} [/mm] und [mm] \bruch{-a_{21}}{a_{22}} [/mm] identisch sind.
Die Gleichheit dieser beiden Anstiege lässt sich zu [mm]a_{11}a_{22}[/mm] = [mm]a_{12}a_{21}[/mm] umformen.
Ich habe jetzt mal nur in eine Richtung argumentiert und auch noch nicht den Fall [mm] a_{12}= [/mm] 0 bzw. [mm] a_{22}= [/mm] 0 betrachtet.
Gruß Abakus
>
> Ich hoffe mir kann jemand behilflich sein.
>
> mfg
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