Homogenitätsgrad bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Homogenitätsgrad der folgenden Funktionen:
a) Y(r,q)= (r+q)^(0,5)
b) U(x,y)= a*ln(x)+b*ln(y)
c) U(x,y)= [mm] (x^p+y^p)^{1/p} [/mm] |
Meine Lösungsversuche:
zu a) Homogen vom Grad 0,5
zu b) Keine Ahnung, wie das beim Logarithmus gehen soll
zu c) Homogen vom Grad 1
Wäre nett, wenn einer das beurteilen könnte. Zudem weiß ich nicht genau, wie ich so eine Aufgabe mit korrekter Schreibweise beantworten soll.
Auf jeden Fall würde ich ein Lambda vor die Variablen schreiben, von denen die Funktion abhängt und durch Ausklammern versuchen, Lambda^Homogenitätsgrad * Ausgangsfunktion zu bekommen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Bestimmen Sie den Homogenitätsgrad der folgenden
> Funktionen:
>
> a) Y(r,q)= (r+q)^(0,5)
> b) U(x,y)= a*ln(x)+b*ln(y)
> c) U(x,y)= [mm](x^p+y^p)^{1/p}[/mm]
>
> Meine Lösungsversuche:
>
> zu a) Homogen vom Grad 0,5
Richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zu b) Keine Ahnung, wie das beim Logarithmus gehen soll
Mit einem einfachen Logarithmengesetz und der ![[]](/images/popup.gif) Definition des Homogenitätsgrades.
>
> zu c) Homogen vom Grad 1
>
Wiederum richtig.
> Wäre nett, wenn einer das beurteilen könnte. Zudem weiß
> ich nicht genau, wie ich so eine Aufgabe mit korrekter
> Schreibweise beantworten soll.
> Auf jeden Fall würde ich ein Lambda vor die Variablen
> schreiben, von denen die Funktion abhängt und durch
> Ausklammern versuchen, Lambda^Homogenitätsgrad *
> Ausgangsfunktion zu bekommen.
Jo. Und wenn du das jetzt auch hier tun würdest, dann hätten wir einen Thread, durch welchen auch andere Leser verstehen könnten, worum es geht. 
Gruß, Diophant
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| Aufgabe | | b) U(x,y)= a*ln(x)+b*ln(y) |
Danke für die Antworten erstmal.
Bei Aufgabe b komme ich leider immer noch nicht weiter. Durch ein Logarithmus-Gesetz (ist es das richtige?) komme ich hierzu:
a*ln(Lambda*x)+b*ln(Lambda*y)
=a*(ln(Lambda)+ln(x)) + b*(ln(Lambda)+ln(y))
Aber wie geht´s dann weiter? So?
=ln(Lambda)*a+ln(x)*a + ln(Lambda)*b + ln(y)*b
= ln (Lambda)*a*b +ln(x)*a+ln(y)*b
=ln(Lambda^(a*b)) +ln(x)*a+ln(y)*b
Der Teil nach dem ersten "Plus-Zeichen" wäre ja die Ausgangsfunktion, aber dann weiß ich nicht mehr weiter...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 So 04.08.2013 | | Autor: | abakus |
> b) U(x,y)= a*ln(x)+b*ln(y)
> Danke für die Antworten erstmal.
>
> Bei Aufgabe b komme ich leider immer noch nicht weiter.
> Durch ein Logarithmus-Gesetz (ist es das richtige?) komme
> ich hierzu:
>
> a*ln(Lambda*x)+b*ln(Lambda*y)
Hallo,
wo zauberst du das lambda her?
Es gilt [mm] U(x,y)=$ln(x^a*y^b)$.
[/mm]
Gruß Abakus
> =a*(ln(Lambda)+ln(x)) + b*(ln(Lambda)+ln(y))
>
> Aber wie geht´s dann weiter? So?
>
> =ln(Lambda)*a+ln(x)*a + ln(Lambda)*b + ln(y)*b
> = ln (Lambda)*a*b +ln(x)*a+ln(y)*b
> =ln(Lambda^(a*b)) +ln(x)*a+ln(y)*b
>
> Der Teil nach dem ersten "Plus-Zeichen" wäre ja die
> Ausgangsfunktion, aber dann weiß ich nicht mehr weiter...
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 So 04.08.2013 | | Autor: | algieba |
Hallo abakus
> Hallo,
> wo zauberst du das lambda her?
> Es gilt U(x,y)=[mm]ln(x^a*y^b)[/mm].
> Gruß Abakus
Er betrachtet nach der Definition von Homogenitätsgrad (Link in der Antwort von diophant)
[mm] $U(\lambda [/mm] x, [mm] \lambda [/mm] y)$ um dann irgendwie zu zeigen, dass [mm] $\lambda^r [/mm] U(x,y)$ gilt. Dann ist r der Homogenitätsgrad. Ich habe mich bisher aber zu wenig damit beschäftigt, als dass ich einen guten Tipp abgeben könnte wie das funktioniert ich denke aber dass es mit Umstellen ganz gut gehen müsste.
Viele Grüße
algieba
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 So 04.08.2013 | | Autor: | odonkor12 |
algieba hat recht. War vllt. etwas undeutlich geschrieben von mir. Bin aber immer noch ratlos, wie´s weiter geht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:37 So 04.08.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo nochmal,
Ich habe mich vorhin etwas unklar ausgedrückt. Die Funktion U ist so wie sie dasteht überhaupt nicht homogen, und das rechnet man per Logarithmengesetzen leicht nach:
[mm] U(\lambda x,\lambda y)=a*ln(\lambda x)+b*ln(\lambda y)=(a+b)*ln(\lambda)+U(x,y)
[/mm]
Bist du sicher, dass an der Aufgabenstellung alles stimmt bzw. hast du sie komplett angegeben?
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 So 04.08.2013 | | Autor: | odonkor12 |
Ja, die Aufgabe war sogar so in einer Klausur dran...
Aber dann sollte das eventuell eine zusätzliche Schwierigkeit darstellen, dass die Funktion inhomogen ist? Schon eine irreführende Aufgabenstellung dann jedenfalls...
Danke aber für die Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:47 Mo 05.08.2013 | | Autor: | fred97 |
Zu b):
Es ist U(1,1)=0.
nehmen wir mal an, es gäbe ein r mit
[mm] U(\lambda [/mm] x, [mm] \lambda [/mm] y)= [mm] \lambda^r*U(x,y) [/mm] für alle x,y [mm] \lambda>0.
[/mm]
Mit x=y=1 folgt:
(a+b)*ln( [mm] \lambda)= U(\lambda [/mm] , [mm] \lambda [/mm] )= [mm] \lambda^r*U(1,1) [/mm] =0 für alle [mm] \lambda>0.
[/mm]
Damit ist b=-a, also
U(x,y)=a*ln(x/y).
Zeige nun, dass r=0 ist.
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:35 Mo 05.08.2013 | | Autor: | fred97 |
Nochmal was zu b): U ist differenzierbar auf (0, [mm] \infty)^2. [/mm] Hat U den Homogenitätsgrad r, so folgt:
[mm] $U_x(x,y)*x+U_y(x,y)*y=r*U(x,y)$ [/mm] füe alle x,y>0.
Also:
$a+b=r*U(x,y)$ für alle x,y>0.
Das aber geht nur für r=0 und a=-b gut.
FRED
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