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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Do 14.09.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo zusammen!
Wo hier schon so freudig diskutiert wird, versuche ich mich auch mal an einer Frage an die Allgemeinheit...
Allerdings weiß ich noch nicht so ganz, was genau ich fragen muss, da mir manchmal Sachen beim Schreiben klar werden, ich schreibe also erstmal auf, was ich so von dem Beweis verstanden habe und dann wird schon irgendwo eine Frage auftauchen. 
Satz: [mm] $\varphi:G\to [/mm] G'$ ist ein Gruppenhomomorphismus und [mm] $N\subset [/mm] G$ ein Normalteiler mit [mm] $N\subset [/mm] ker [mm] \varphi$.
[/mm]
Behauptung: Dann existiert ein eindeutiger Gruppenhomomorphismus [mm] $\overline{\varphi}:G/N\to [/mm] G'$ mit [mm] \varphi=\overline{\varphi}\circ\pi, [/mm] so dass das Diagramm (das male ich mal nicht, steht auf Seite 18) kommutiert.
Außerdem gilt (folgt das daraus, dass das Diagramm kommutiert oder ist das Voraussetzung, damit das Diagramm kommutiert oder hat das überhaupt nichts miteinander zu tun?): $im [mm] \overline{\varphi}=im \varphi$, [/mm] $ker [mm] \overline{\varphi}=\pi(ker \varphi)$, [/mm] $ker [mm] \varphi=\pi^{-1}(ker\overline{\varphi})$.
[/mm]
Insbesondere ist [mm] \overline{\varphi} [/mm] genau dann injektiv, wenn $N=ker [mm] \varphi$ [/mm] gilt. (wird das auch bewiesen oder ist das trivial oder wie?)
Beweis:
Zuerst wird bewiesen, dass [mm] \overline{\varphi} [/mm] eindeutig ist, falls es überhaupt existiert:
Wenn [mm] \overline{\varphi} [/mm] existiert, so folgt:
[mm] \overline{\varphi}(aN)=\overline{\varphi}(\pi(a))=\varphi(a) [/mm]
für [mm] a\in [/mm] G. Das verstehe ich, aber wieso folgt daraus die Eindeutigkeit? ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Nun steht weiter im Beweis: "Umgekehrt können wir natürlich [mm] \overline{\varphi} [/mm] durch die Gleichung [mm] \overline{\varphi}(aN)=\varphi(a) [/mm] erklären, wenn wir zeigen,..." Was soll damit gezeigt werden? Was bedeutet das "umgekehrt können wir natürlich sowieso erklären, wenn?
Die einzelnen "Formeln" verstehe ich, aber eben nicht, was damit gezeigt wird...
Und was hat am Ende die Surjektivität von [mm] \pi [/mm] mit $im [mm] \overline{\varphi}=im \varphi$ [/mm] und $ker [mm] \overline{\varphi}=\pi(ker \varphi)$ [/mm] zu tun?
Wäre toll, wenn mir jemand noch ein bisschen dazu erklären könnte. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Do 14.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Bastiane!
> Wo hier schon so freudig diskutiert wird, versuche ich mich
> auch mal an einer Frage an die Allgemeinheit...
> Allerdings weiß ich noch nicht so ganz, was genau ich
> fragen muss, da mir manchmal Sachen beim Schreiben klar
> werden, ich schreibe also erstmal auf, was ich so von dem
> Beweis verstanden habe und dann wird schon irgendwo eine
> Frage auftauchen.
Ok, dann schaun wir das mal durch :)
> Satz: [mm]\varphi:G\to G'[/mm] ist ein Gruppenhomomorphismus und
> [mm]N\subset G[/mm] ein Normalteiler mit [mm]N\subset ker \varphi[/mm].
>
> Behauptung: Dann existiert ein eindeutiger
> Gruppenhomomorphismus [mm]\overline{\varphi}:G/N\to G'[/mm] mit
> [mm]\varphi=\overline{\varphi}\circ\pi,[/mm] so dass das Diagramm
> (das male ich mal nicht, steht auf Seite 18) kommutiert.
Schade dass xy-Pic nicht zur Verfuegung steht bei der Formeleingabe, sonst haette ich es kurz geTeXt...
> Außerdem gilt (folgt das daraus, dass das Diagramm
> kommutiert oder ist das Voraussetzung, damit das Diagramm
> kommutiert oder hat das überhaupt nichts miteinander zu
> tun?):
Das folgt aus der Kommutativitaet des Diagramms zusammen damit, dass [mm] $\pi$ [/mm] surjektiv ist. Oder man kann es auch so sehen, dass es aus der Definition von [mm] $\overline{\varphi}$ [/mm] folgt.
> [mm]im \overline{\varphi}=im \varphi[/mm], [mm]ker \overline{\varphi}=\pi(ker \varphi)[/mm],
> [mm]ker \varphi=\pi^{-1}(ker\overline{\varphi})[/mm].
> Insbesondere
> ist [mm]\overline{\varphi}[/mm] genau dann injektiv, wenn [mm]N=ker \varphi[/mm]
> gilt. (wird das auch bewiesen oder ist das trivial oder
> wie?)
Fuer S. Bosch ist es woh trivial Es folgt daraus, dass der Kern von [mm] $\overline{\varphi}$ [/mm] gerade [mm] $\pi(\ker \varphi)$ [/mm] ist: Es ist naemlich genau dann [mm] $\pi(\ker \varphi) [/mm] = [mm] \{ e \}$, [/mm] wenn [mm] $\ker \varphi \subsetet \ker \pi [/mm] = N$ ist. Da aber $N [mm] \subseteq \ker \varphi$ [/mm] immer gilt (war ja eine Voraussetzung), bekommst du somit die Aussage.
> Beweis:
> Zuerst wird bewiesen, dass [mm]\overline{\varphi}[/mm] eindeutig
> ist, falls es überhaupt existiert:
> Wenn [mm]\overline{\varphi}[/mm] existiert, so folgt:
>
> [mm]\overline{\varphi}(aN)=\overline{\varphi}(\pi(a))=\varphi(a)[/mm]
> für [mm]a\in[/mm] G. Das verstehe ich, aber wieso folgt daraus die
> Eindeutigkeit?
Wenn es einen zweiten solchen Homomorphismus [mm] $\psi [/mm] : G/N [mm] \to [/mm] G'$ gibt, dann gilt fuer diesen ebenso [mm] $\psi(a [/mm] N) = [mm] \varphi(a)$ [/mm] (da das Diagramm kommutiert). Aber dann ist [mm] $\psi(a [/mm] N) = [mm] \overline{\varphi}(a [/mm] N)$ fuer jedes $a N [mm] \in [/mm] G/N$, womit [mm] $\psi [/mm] = [mm] \overline{\varphi}$ [/mm] ist.
> Nun steht weiter im Beweis: "Umgekehrt können wir natürlich
> [mm]\overline{\varphi}[/mm] durch die Gleichung
> [mm]\overline{\varphi}(aN)=\varphi(a)[/mm] erklären, wenn wir
> zeigen,..." Was soll damit gezeigt werden? Was bedeutet das
> "umgekehrt können wir natürlich sowieso erklären, wenn?
Das `erklaeren' heisst hier `definieren'. Bosch sagt also, dass er [mm] $\overline{\varphi}$ [/mm] so definieren kann (erst mal nur als Abbildung von Mengen!), wenn man zeigt, dass dies unabhaengig von der Wahl des Repraesentanten ist.
> Die einzelnen "Formeln" verstehe ich, aber eben nicht, was
> damit gezeigt wird...
>
> Und was hat am Ende die Surjektivität von [mm]\pi[/mm] mit [mm]im \overline{\varphi}=im \varphi[/mm]
> und [mm]ker \overline{\varphi}=\pi(ker \varphi)[/mm] zu tun?
Wenn [mm] $\pi$ [/mm] nicht surjektiv waere, so koennte es sein, dass $im [mm] \overline{\varphi}$ [/mm] eventuell echt groesser als $im [mm] \varphi$ [/mm] ist: Dass das Diagramm kommutiert, impliziert erstmal nur [mm] $\varphi \subseteq [/mm] im [mm] \overline{\varphi}$. [/mm] (Wenn du es nicht siehst, versuch es doch mal explizit nachzurechnen: Nimm dir ein Element aus dem Bild von [mm] $\varphi$ [/mm] und zeige, dass es im Bild von [mm] $\overline{\varphi}$ [/mm] liegt, und umgekehrt.)
Und ebenso beim Kern: Waere [mm] $\pi$ [/mm] nicht surjektiv, so wuesste man nur, dass [mm] $\pi(\ker \varphi)$ [/mm] im Kern von [mm] $\overline{\varphi}$ [/mm] enthalten ist (wegen der Kommutativitaet).
Mir faellt auf, das meine Algebra-I-Dozentin damals extra all diese Kleinigkeiten explizit vorgerechnet hat, damit gerade solche Fragen nicht offen bleiben. Also, da Bosch das nicht tut, solltet ihr (das ist jetzt ein Aufruf an alle) das selber tun, also fuer jede Behauptung von Mengengleichheiten explizit nachrechen, dass sie gleich sind. Das sind jeweils nur ein paar Umformungen und es ist nicht schwer, aber ich denke man lernt dadurch schon etwas
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Fr 15.09.2006 | | Autor: | Docy |
Hallo nochmal,
ich verstehe nicht so ganz, wieso für den Homomorphisatz noch als Voraussetzung N [mm] \subset ker\varphi [/mm] gelten muss. Und wie kommt man auf ker [mm] \overline{\varphi}=\pi(ker \varphi)? [/mm] Könnte mir das einer bitte erklären?
Gruß
Docy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Fr 15.09.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Docy,
> ich verstehe nicht so ganz, wieso für den Homomorphisatz
> noch als Voraussetzung N [mm]\subset ker\varphi[/mm] gelten muss.
Das wird im Beweis von Satz 6 direkt benutzt, wenn die Existenz von [mm] \overline{\phi} [/mm] nachgewiesen wird. [mm] \overline{\phi} [/mm] wird ja auf dem Umweg über [mm] \phi [/mm] und Vertreter definiert, und das funktioniert nur mit dieser Voraussetzung.
> Und wie kommt man auf ker [mm]\overline{\varphi}=\pi(ker \varphi)?[/mm]
Das folgt wirklich direkt aus der Kommutativität des Diagramms und der Tatsache, daß [mm] \pi [/mm] surjektiv ist.
Ist [mm] \overline{g} \in ker(\overline{\phi}), [/mm] dann gibt es wegen der Surj. ein g [mm] \in [/mm] G mit [mm] \overline{g} [/mm] = [mm] \pi(g). [/mm] Wegen der Komm. ist [mm] \phi(g) [/mm] = [mm] \overline{\phi}(\pi(g)) [/mm] = [mm] \overline{\phi}(\overline{g}) [/mm] = 1' [mm] \in [/mm] G', also g [mm] \in ker(\phi) [/mm]
(und umgekehrt genauso).
Gruß
Dieter
PS: Der Fachausdruck für diese Art Beweise heißt Diagrammjagd (engl. diagram chasing).
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