Homomorphismen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Fr 09.11.2007 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | Man beschreibe alle Homomorphismen [mm] \phi: \IZ^+ \mapsto \IZ^+ [/mm] und bestimme, welche von ihnen injektiv, welche surjektiv und welche Isomorphismen sind.
[mm] [\IZ^+ [/mm] = [mm] (\IZ [/mm] , +)] |
Laut Aufgabenstellung gibt es ja mehrere Homomorphismen bezüglich dieser Abbildung. ich finde jedoch nur f(x)=ax. Gibt es evtl. eine "Taktik" welche einem garantiert, tatsächlich alle Homomorphismen zu finden?
Gruß
Rutzel
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> Man beschreibe alle Homomorphismen [mm]\phi: \IZ^+ \mapsto \IZ^+[/mm]
> und bestimme, welche von ihnen injektiv, welche surjektiv
> und welche Isomorphismen sind.
> [mm][\IZ^+[/mm] = [mm](\IZ[/mm] , +)]
> Laut Aufgabenstellung gibt es ja mehrere Homomorphismen
> bezüglich dieser Abbildung. ich finde jedoch nur f(x)=ax.
Hallo,
Du untertreibst ganz gewaltig:
Du hast doch sehr viele Homomorphismen gefunden, nämlich für jedes [mm] a\in \IZ [/mm] einen, den durch [mm] f_a(x):=ax [/mm] f.a.x def. Homomorphismus.
Nun mußt Du schauen, wie das für die verschiedenen a mit injektiv/surjektiv/bijektiv bestellt ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Fr 09.11.2007 | | Autor: | Rutzel |
Hallo Angela,
vielen Dank für deine Antwort. Darüber muss ich später nochmal nachdenken, habe jetzt wieder eine Vorlesung. Jedoch plagt mich noch ein andere Homomorphismus: (bezüglich der gleichen Aufgabe)
ist f(x) = abs(x) auch ein Homomorphismus? Irgendwie bin ich mir da mit mir selbst nicht ganz einig.
Gruß
Rutzel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 Fr 09.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
berechne mal $f(1 + (-1))$ und $f(1) + f(-1)$. gilt zwischen diesen beiden ausdrücken gleichheit?
im ersten teil musst du natürlich noch zeigen, dass es außer den von dir angegebenen [mm] $f_a$ [/mm] keinen weiteren homomorphismen gibt (mache dir etwa klar, dass $f$ schon vollständig durch das bild $f(1)$ von $1$ festgelegt ist).
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 So 11.11.2007 | | Autor: | Rutzel |
Ok, ich denke ich habe eine Antwort gefunden:
Erzeugendes Element von [mm] \IZ^+ [/mm] ist <1>. Um die Abgeschlossenheit zu erfüllen, darf man nur auf ganzzahlige Vielfache von 1 abbilden. Außerdem gilt: z=1+1+1...+1 (z-mal)
[mm] \Rightarrow
[/mm]
alle Homomorphismen von [mm] \phi: \IZ^+ \mapsto \IZ^+ [/mm] haben die Form:
[mm] \phi_a(z)=az
[/mm]
[mm] \forall [/mm] a,z [mm] \in \IZ
[/mm]
injektive Homomorphismen (nicht surjektiv):
[mm] \phi_0
[/mm]
surjektive (und injektive) Homomorphismen (und damit bijektiv):
[mm] \phi_a
[/mm]
[mm] \forall [/mm] a [mm] \not= [/mm] 0
Isomorphismen:
[mm] \phi_a
[/mm]
[mm] \forall [/mm] a [mm] \not= [/mm] 0 (da bijektiver Homomorphismus)
Ist dies korrekt?
Gruß
Rutzel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 So 11.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Erzeugendes Element von [mm]\IZ^+[/mm] ist <1>. Um die
> Abgeschlossenheit zu erfüllen, darf man nur auf ganzzahlige
> Vielfache von 1 abbilden. Außerdem gilt: z=1+1+1...+1
> (z-mal)
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> alle Homomorphismen von [mm]\phi: \IZ^+ \mapsto \IZ^+[/mm] haben
> die Form:
> [mm]\phi_a(z)=az[/mm]
> [mm]\forall[/mm] a,z [mm]\in \IZ[/mm]
das sollte man auch etwas genauer begründen (die homomorphieeigenschaft ging ja noch gar nicht ein), aber ich denke die idee geht in die richtige richtung.
> injektive Homomorphismen (nicht surjektiv):
> [mm]\phi_0[/mm]
was ist [mm] $\phi_0(0)$ [/mm] und was ist [mm] $\phi_0(1)$. [/mm] kann diese abbildung injektiv sein?
> surjektive (und injektive) Homomorphismen (und damit
> bijektiv):
> [mm]\phi_a[/mm]
> [mm]\forall[/mm] a [mm]\not=[/mm] 0
welches elemente wird unter [mm] $\phi_2$ [/mm] auf $1 [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] abgebildet? können also alle dieser homomorphismen surjektiv sein? kannst du die injektivität begründen?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Rutzel |
> was ist [mm]\phi_0(0)[/mm] und was ist [mm]\phi_0(1)[/mm]. kann diese
> abbildung injektiv sein?
>
[mm] \pji_0(0)=0*x=0
[/mm]
also werden alle Urbilder auf ein Bild abgebildet. D.h. jedes Element der Zielmenge [mm] \IZ [/mm] wird höchstens einmal als Funktionswert angenommen. Also ist diese Abbildung injektiv
>
> welches elemente wird unter [mm]\phi_2[/mm] auf [mm]1 \in \mathbb{Z}[/mm]
> abgebildet? können also alle dieser homomorphismen
> surjektiv sein? kannst du die injektivität begründen?
aha, ok. Dann:
Surjektiv und injektiv:
[mm] \phi_a
[/mm]
falls a = 1
Injektiv
[mm] \phi_a
[/mm]
[mm] \forall a\not=0 \wedge a\not=1
[/mm]
Isomorphismen
[mm] \phi_a
[/mm]
falls a = 1
(da eben bijektiver Homomorphismus)
Gruß
Rutzel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Mo 12.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> > was ist [mm]\phi_0(0)[/mm] und was ist [mm]\phi_0(1)[/mm]. kann diese
> > abbildung injektiv sein?
> >
> [mm]\pji_0(0)=0*x=0[/mm]
> also werden alle Urbilder auf ein Bild abgebildet.
ja.
> D.h.
> jedes Element der Zielmenge [mm]\IZ[/mm] wird höchstens einmal als
> Funktionswert angenommen.
nein. berechnen doch mal [mm] $\phi_0(1)$!
[/mm]
> Also ist diese Abbildung
> injektiv
nein. schau dir nochmals genau die definition von injektiv an und wende diese auf [mm] $\phi_0$ [/mm] an.
> > welches elemente wird unter [mm]\phi_2[/mm] auf [mm]1 \in \mathbb{Z}[/mm]
> > abgebildet? können also alle dieser homomorphismen
> > surjektiv sein? kannst du die injektivität begründen?
> aha, ok. Dann:
> Surjektiv und injektiv:
> [mm]\phi_a[/mm]
> falls a = 1
ja, aber da gibt es noch ein weitere $a$ für das das gilt!
> Injektiv
> [mm]\phi_a[/mm]
> [mm]\forall a\not=0 \wedge a\not=1[/mm]
warum sollte [mm] $\phi_1$ [/mm] nicht injektiv sein? oben hast du doch genau das geschrieben?
> Isomorphismen
> [mm]\phi_a[/mm]
> falls a = 1
> (da eben bijektiver Homomorphismus)
ja. auch hier fehlt noch ein weiteres $a$ für welches dies erfüllt ist.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Rutzel |
jetzt hats klick gemacht. vielen dank.
gruß
rutzel
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