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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 Sa 23.10.2010 | | Autor: | dio |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Homomorphismen von [mm] (\IZ; [/mm] +) in [mm] (\IR;*). [/mm] (Begründen Sie auch, warum Ihre Lösung vollständig ist.) |
Hallo!
Leider habe ich absolut keine Idee, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll und wäre sehr denkbar, wenn mir hier jmd einen Tip geben könnte :)
Vielen herzlichen Dank :)
(Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:26 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
mache dir folgende drei Dinge klar :
1. Welche Gleichung muss ein solcher Homomorphismus erfüllen ?
2. Jede ganze Zahl ist eine Summe von 1en oder -1en
3. Was muss ich also von dem Homomorphismus mindestens wissen und warum reicht das um ihn vollständig zu charakterisieren ?
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Mo 25.10.2010 | | Autor: | dio |
Zunächst einmal herzlichen Dank für die Antwort - leider war es mir nicht früher möglich eine Antwort zu formulieren.
Der Homomorphismus muss die Gleichung
[mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IZ [/mm] : [mm] \varphi [/mm] (a+b) = [mm] \varphi [/mm] (a) * [mm] \varphi [/mm] (b)
erfüllen.
Leider stehe ich jedoch was Punkt 2 und 3 angeht auf dem Schlauch, da ich nich genau weiß, wie mir diese Informationen weiterhelfen.
Für erneutes auf-die-Sprünge-helfen wär ich sehr dankbar :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Mo 25.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zunächst einmal herzlichen Dank für die Antwort - leider
> war es mir nicht früher möglich eine Antwort zu
> formulieren.
>
> Der Homomorphismus muss die Gleichung
>
> [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in \IZ[/mm] : [mm]\varphi[/mm] (a+b) = [mm]\varphi[/mm] (a) * [mm]\varphi[/mm]
> (b)
>
> erfüllen.
>
> Leider stehe ich jedoch was Punkt 2 und 3 angeht auf dem
> Schlauch, da ich nich genau weiß, wie mir diese
> Informationen weiterhelfen.
>
> Für erneutes auf-die-Sprünge-helfen wär ich sehr dankbar
> :)
Nun, wenn du [mm] $\varphi(3)$ [/mm] kennst, ist auch [mm] $\varphi(12)$ [/mm] festgelegt, da [mm] $\varphi(12) [/mm] = [mm] \varphi(3 [/mm] + 3 + 3 + 3) = [mm] \varphi(3) [/mm] + [mm] \varphi(3) [/mm] + [mm] \varphi(3) [/mm] + [mm] \varphi(3) [/mm] = 4 [mm] \varphi(3)$ [/mm] ist.
Jetzt schau dir nochmal die Tipps von Sax an.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Mo 25.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Nun, wenn du [mm]\varphi(3)[/mm] kennst, ist auch [mm]\varphi(12)[/mm]
> festgelegt, da [mm]\varphi(12) = \varphi(3 + 3 + 3 + 3) = \varphi(3) + \varphi(3) + \varphi(3) + \varphi(3) = 4 \varphi(3)[/mm]
> ist.
Ich hatte die Operation in der Zielgruppe additiv geschrieben; in der Aufgabenstellung ist dies natuerlich nicht der Fall. Aber du solltest es selber uebertragen koennen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 Mo 25.10.2010 | | Autor: | dio |
Erneut herzlichen Dank für die schnelle Antwort! :)
Okay, die große Erleuchtung kam zwar immer noch nich - aber ich schreibe mal einfach meine Gedanken auf und hoffe auf Rückmeldung ;)
Ich kann jedes beliebige a [mm] \in \IZ [/mm] als Summe von 1en oder -1en schreiben.
Nehmen wir dann vorerst o.B.d.A an, dass unser a positiv ist - also kann ich es als 1 + 1 + 1 + ... + 1 schreiben (natürlich a-mal die 1)
Da ich ja einen Homomorphismus habe (auch wenn ich nich weiß wie er aussieht), habe ich auf der rechten Seite der Homomorphie-Gleichung folgendes:
[mm] \varphi(1)*\varphi(1)*...*\varphi(1) [/mm] = [mm] \varphi^{a}(1)
[/mm]
Da ich jedoch jede Zahl als Summe aus 1en oder -1en schreiben kann, bekomme ich folgendes:
für a < 0: [mm] \varphi(a)=\varphi^{a}(1)
[/mm]
für a > 0: [mm] \varphi(a)=\varphi^{a}(-1)
[/mm]
Bin ich soweit korrekt und auf dem richtigen Weg? ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:47 Di 26.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
ja, das bist du.
Zur Schreibweise :
[mm] \varphi(1) [/mm] * [mm] \varphi(1) [/mm] muss mit Klammern geschriebern werden : ( [mm] \varphi(1) )^2.
[/mm]
[mm] \varphi^2(1) [/mm] bedeutet nämlich [mm] \varphi [/mm] ( [mm] \varphi(1) [/mm] )
Du musst also nur wissen, was r = [mm] \varphi(1) [/mm] , was s = [mm] \varphi(-1) [/mm] und am besten noch, was t = [mm] \varphi(0) [/mm] ist.
Die drei Zahlen r, s und t sind aber nicht beliebig wählbar, sondern durch die Homomorphismus-Forderung festgelegt oder voneinander abhängig.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Di 26.10.2010 | | Autor: | dio |
So :)
Ich weiß, dass meine Schritte ziemlich klein sind, aber ich denke, dass ich Dank eurer Hilfe auf dem richtigen Weg bin ;)
Folgende neue Ideen habe ich heute anzubieten:
Da wir an einer natürlichen Zahl durch Addition mit beliebig vielen Nullen nichts ändern, muss folgendes gelten (a wieder voerst positiv):
[mm] \varphi(a) [/mm] = [mm] \varphi(1+1+...+1) [/mm] = [mm] \varphi(1+1+...+1+0+..+0)=\varphi(1)+...+\varphi(1)+\varphi(0)+...+\varphi(0)
[/mm]
Da die Addition beliebig vieler Nullen auf der linken Seite nichts ändert, darf auch [mm] \varphi(0) [/mm] auf der rechten Seite bzgl der Multiplikation nichts verändern und somit muss gelten [mm] \varphi(0)=1.
[/mm]
Desweiteren gilt folgendes:
[mm] \varphi(0)=\varphi(1+(-1))=\varphi(1)*\varphi(-1)=1
[/mm]
Soweit korrekt? ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:46 Di 26.10.2010 | | Autor: | dio |
kleine Korrektur - auf der rechten Seite der Gleichung stehen natürlich keine Pluszeichen, sondern es wird multipliziert!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Di 26.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich weiß, dass meine Schritte ziemlich klein sind, aber
> ich denke, dass ich Dank eurer Hilfe auf dem richtigen Weg
> bin ;)
>
> Folgende neue Ideen habe ich heute anzubieten:
>
> Da wir an einer natürlichen Zahl durch Addition mit
> beliebig vielen Nullen nichts ändern, muss folgendes
> gelten (a wieder voerst positiv):
>
> [mm]\varphi(a)[/mm] = [mm]\varphi(1+1+...+1)[/mm] =
> [mm]\varphi(1+1+...+1+0+..+0)=\varphi(1)+...+\varphi(1)+\varphi(0)+...+\varphi(0)[/mm]
>
> Da die Addition beliebig vieler Nullen auf der linken Seite
> nichts ändert, darf auch [mm]\varphi(0)[/mm] auf der rechten Seite
> bzgl der Multiplikation nichts verändern und somit muss
> gelten [mm]\varphi(0)=1.[/mm]
Genau. (Wenn man die Addition teilweise durch die Multiplikation ersetzt, wie du ja schon selber bemerkt hast :) )
> Desweiteren gilt folgendes:
>
> [mm]\varphi(0)=\varphi(1+(-1))=\varphi(1)*\varphi(-1)=1[/mm]
>
> Soweit korrekt? ;)
Ja.
Also, was ist [mm] $\varphi(a)$ [/mm] fuer allgemeines $a [mm] \in \IZ$? [/mm] Ausgedrueckt nur durch [mm] $\varphi(1)$?
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Di 26.10.2010 | | Autor: | dio |
Also jetzt steh ich auf dem Schlauch, aber ich denke es liegt eher daran, dass ich wohl mit der Formulierung der Frage nich ganz zurechtkomme ;)
Ich hätte folgendes auf die Frage geantwortet:
für a>0: [mm] \varphi(a)=(\varphi(1))^{a}
[/mm]
für a<0: [mm] \varphi(a)=(\varphi(-1))^{a}
[/mm]
(und [mm] \varphi(0)=1)
[/mm]
Ich nehme aber mal stark an, dass das nich die Richtung ist, in die du mich schubsen wolltest, denn das hatte ich ja schon irgendwo mal erwähnt ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:17 Di 26.10.2010 | | Autor: | dio |
Die beiden Fälle (a<0 und a>0) gehören natürlich andersrum - ich versprech ich bin ab jetzt aufmerksamer beim schreiben! ;)
Korrektur ist hiermit hinfällig - hab den edit-Button gefunden ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Di 26.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
soweit richtig, jetzt fehlt noch der allerletzte Schritt, nämlich zu zeigen, wie sich [mm] \varphi(-1) [/mm] durch [mm] \varphi(1) [/mm] ausdrücken lässt.
Beachte dazu, dass 1 + (-1) = 0 ist.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Di 26.10.2010 | | Autor: | dio |
Okay...Dann fass ich mal alle meine Erkenntnisse zusammen:
Wir suchen alle Homomorphismen von [mm] (\IZ,+) [/mm] in [mm] (\IR,*)
[/mm]
Da jede Zahl a [mm] \in \IZ [/mm] als Summe von 1en und -1en darstellbar ist, erhalten wir folgendes:
Fü a>0 gilt: [mm] \varphi(a) [/mm] = [mm] (\varphi(1))^{a}
[/mm]
Für a<0 gilt: [mm] \varphi(a) [/mm] = [mm] (\varphi(-1))^{a}
[/mm]
[mm] \varphi(0)=1
[/mm]
(Jetzt im Nachhinein auch vollkommen offensichtlich, da ja der Gruppenhomomorphismus nach Voraussetzung dass neutrale Element von [mm] \IZ [/mm] auf das von [mm] \IR [/mm] abbilden muss..)
Aus [mm] 1=\varphi(0) [/mm] = [mm] \varphi(1+(-1)) [/mm] = [mm] \varphi(1)*\varphi(-1) [/mm] folgt:
[mm] \varphi(-1)=(\varphi(1))^{-1}
[/mm]
Damit bekommen wir:
Für a>0
[mm] \varphi(a) [/mm] = [mm] (\varphi(1))^{a}
[/mm]
[mm] \varphi(-a) [/mm] = [mm] (\varphi(-1))^{a} [/mm] = [mm] ((\varphi(1))^{-1})^{a} [/mm] = [mm] (\varphi(1))^{-a}
[/mm]
Und damit allgemein für bel a [mm] \in \IZ:
[/mm]
[mm] \varphi(a) [/mm] = [mm] (\varphi(1))^{a}
[/mm]
Ist das bis hierhin korrekt?
Muss ich denn jetzt noch alle Abbildungen bestimmen, die das erfüllen oder ist das so schon die Antwort?
Und was bedeutet die Frage nach der Vollständigkeit in diesem Zusammenhang und wie begründe ich diese?
ABer bis hierhin schon einmal vielen Dank an euch! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Di 26.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
>
> Und damit allgemein für bel a [mm]\in \IZ:[/mm]
>
> [mm]\varphi(a)[/mm] = [mm](\varphi(1))^{a}[/mm]
>
> Ist das bis hierhin korrekt?
>
Ja.
> Muss ich denn jetzt noch alle Abbildungen bestimmen, die
> das erfüllen oder ist das so schon die Antwort?
>
> Und was bedeutet die Frage nach der Vollständigkeit in
> diesem Zusammenhang und wie begründe ich diese?
>
Es bedeutet eben und das haben die ganzen Diskussionen doch bewiesen, dass dies alle Homomorphismen sind, eben für jedes mögliche [mm] \varphi(1) [/mm] genau einer. "möglich" bedeutet dabei nur die Einschränkung, dass [mm] \varphi(1) \not= [/mm] 0 gelten muss (warum?).
Gruß Sax.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:37 Di 26.10.2010 | | Autor: | dio |
Naja, hätten wir [mm] \varphi(1)=0, [/mm] dann wäre alleine schon die Bedingung, dass das neutrale Element von [mm] \IZ [/mm] auf das neutrale von [mm] \IR [/mm] abgebildet werden muss, verletzt. Denn wir können ja auch die 0 als Summe von 1en darstellen.
(Reicht dies so als Begründung?)
Ich denke jetzt tatsächtlich, dass ich bei dieser Aufgabe den Durchblick habe (wobei ich trotzdem lieber noch eine Nacht drüber schlafe ;) )
Aber ich danke euch ganz ganz herzlich für euer Druchhaltevermögen und eure zahlreichen Tips! Ihr seid super! ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Do 28.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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