Homomorphismen in Ringen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 So 21.04.2013 | | Autor: | J_Revan |
| Aufgabe | | Zeige, dass es in [mm] R=\IZ[\wurzel-5] [/mm] Homomorphismus [mm] \phi:R\to\IF_{2} [/mm] gibt, dessen Kern genau der Primideal [mm] a=(2,1+\wurzel{-5}) [/mm] ist. |
Hallo.
Habe eine Verständnisfrage bzw brauche ich ein Tipp für den richtigen Ansatz.
Soll ich also zeigen dass [mm] \phi (\alpha+\beta)=\phi(\alpha)+\phi(\beta) [/mm] und [mm] \phi(\alpha\beta)=\phi(\alpha)\phi(\beta) [/mm] ist.
Wie soll ich dann noch zeigen das der Kern ganau der Primideal [mm] a=(2,1+\wurzel{-5}) [/mm] ist.
Stehe in Momemt wirklich auf den Schlauch was den Ansatz betrift.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 So 21.04.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeige, dass es in [mm]R=\IZ[\wurzel-5][/mm] Homomorphismus
> [mm]\phi:R\to\IF_{2}[/mm] gibt, dessen Kern genau der Primideal
> [mm]a=(2,1+\wurzel{-5})[/mm] ist.
>
> Habe eine Verständnisfrage bzw brauche ich ein Tipp für
> den richtigen Ansatz.
> Soll ich also zeigen dass [mm]\phi (\alpha+\beta)=\phi(\alpha)+\phi(\beta)[/mm]
> und [mm]\phi(\alpha\beta)=\phi(\alpha)\phi(\beta)[/mm] ist.
> Wie soll ich dann noch zeigen das der Kern ganau der
> Primideal [mm]a=(2,1+\wurzel{-5})[/mm] ist.
> Stehe in Momemt wirklich auf den Schlauch was den Ansatz
> betrift.
Betrachte doch einfach den kanonischen Homomorphismus $R [mm] \to [/mm] R/a$, und zeige, dass $R/a$ genau zwei Elemente hat. Damit muss $R/a$ isomorph zu [mm] $\IF_2$ [/mm] sein, womit du einen Homomorphismus $R [mm] \to \IF_2$ [/mm] bekommst.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Do 25.04.2013 | | Autor: | J_Revan |
| Aufgabe | Wenn ich [mm] \phi: [/mm] $R [mm] \to [/mm] R/a$ mit [mm] \phi(x)=\overline{x} [/mm] mit wohldefinierter Addition [mm] \overline{x}+\overline{y}=\overline{x+y} [/mm] und Multiplikation [mm] \overline{x}\overline{y}=\overline{xy} [/mm] betrachte. Wobei [mm] \overline{x} [/mm] Restklasse ist.
Ist doch [mm] \phi [/mm] wie man leicht nachprüft ein Ringhomomorphismus. Und da $a$ ein Ideal ist, ist [mm] kern\phi=a [/mm] |
Ich weiß also das es ein Homomorphismus von [mm] $R\toR/a$ [/mm] gibt.
Aber wieso soll das in meinen Bsp isomorph zu [mm] \IF_2 [/mm] sein.
Ich weiß leider nicht wie ich zeigen soll dass [mm] \IZ[\wurzel{-5}]/(2,1+\wurzel{-5}) [/mm] genau 2 Elemente enthält.
Sorry, aber ich stehe da in Moment voll auf dem Schlauch.
mfg
J_Revan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Do 25.04.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Wenn ich [mm]\phi:[/mm] [mm]R \to R/a[/mm] mit [mm]\phi(x)=\overline{x}[/mm] mit
> wohldefinierter Addition
> [mm]\overline{x}+\overline{y}=\overline{x+y}[/mm] und Multiplikation
> [mm]\overline{x}\overline{y}=\overline{xy}[/mm] betrachte. Wobei
> [mm]\overline{x}[/mm] Restklasse ist.
> Ist doch [mm]\phi[/mm] wie man leicht nachprüft ein
> Ringhomomorphismus. Und da [mm]a[/mm] ein Ideal ist, ist [mm]kern\phi=a[/mm]
> Ich weiß also das es ein Homomorphismus von [mm]R\toR/a[/mm]
> gibt.
>
> Aber wieso soll das in meinen Bsp isomorph zu [mm]\IF_2[/mm] sein.
Weil die Aufgabensteller freundlicherweise ein passendes Ideal angegeben haben 
Wenn das ganze aus einer Zahlentheorievorlesung stammt, sage ich nur ein Stichwort: Norm.
> Ich weiß leider nicht wie ich zeigen soll dass
> [mm]\IZ[\wurzel{-5}]/(2,1+\wurzel{-5})[/mm] genau 2 Elemente
> enthält.
Nun, zeige, dass jedes Element aus [mm] $\IZ[\sqrt{-5}]$ [/mm] entweder als Linearkombination von $2$ und $1 + [mm] \sqrt{-5}$ [/mm] schreibbar ist, oder dass man erst 1 abziehen muss damit es geht. Daraus folgt dann, dass es hoechstens zwei Restklassen gibt. Wenn du dann noch zeigst, dass 1 nicht im Ideal liegt, bist du fertig.
(So eine Linearkombination finden ist uebrigens sehr einfach.)
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:26 Sa 27.04.2013 | | Autor: | J_Revan |
Hallo.
Ist das so ok.
Sei x [mm] \in $\IZ[\sqrt{-5}]$.
[/mm]
Dann ist [mm] $x=a+b\sqrt{-5} \in (2,1+\sqrt{-5})=\{\alpha2+\beta(1+\sqrt{-5}); \alpha, \beta \in \IZ\}$ [/mm] falls [mm] $\beta=b$ [/mm] und [mm] $a-\beta=2\alpha$. [/mm] Die zweite Gleichheit ist immer erfühlt falls [mm] $\beta [/mm] ,b$ beide gerade oder beide ungerade sind.
Sind [mm] $\beta$ [/mm] und $b$ verschieden. Also z.Bsp [mm] $\beta$ [/mm] gerade und $b$ ungerade. So ist die Gleichheit nur für $x-1$ aus [mm] $\IZ[\sqrt{-5}]$ [/mm] erfühllt. Also gibt es höhstens zwei Restklassen.
Auserdem ist wegen [mm] $1\not= 2a+b+b\sqrt{-5}$ [/mm] für alle $a,b [mm] \in \IZ$ [/mm]
[mm] $1\not\in (2,1+\sqrt{-5}) [/mm] $.
Deshalb besteht [mm] $\IZ[\sqrt{-5}]/(2,1+\sqrt{-5}$ [/mm] aus nur 2 Elementen und ist somit isomorph zu [mm] $\IF_2$
[/mm]
Wie würde man das mit der Norm zeigen?
mfg
j_Revan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 01.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Mi 01.05.2013 | | Autor: | J_Revan |
Kann mir den niemand sagen ob das so ok ist.(siehe meine Frage oben)
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 20:41 Mi 01.05.2013 | | Autor: | J_Revan |
Mich interessiert immer noch die Antwort auf meine Fragevon vorhin:
Ist das so ok?
Sei x [mm] \in $\IZ[\sqrt{-5}]$.
[/mm]
Dann ist [mm] $x=a+b\sqrt{-5} \in (2,1+\sqrt{-5})=\{\alpha2+\beta(1+\sqrt{-5}); \alpha, \beta \in \IZ\}$ [/mm] falls [mm] $\beta=b$ [/mm] und [mm] $a-\beta=2\alpha$. [/mm] Die zweite Gleichheit ist immer erfühlt falls [mm] $\beta [/mm] ,b$ beide gerade oder beide ungerade sind.
Sind [mm] $\beta$ [/mm] und $b$ verschieden. Also z.Bsp [mm] $\beta$ [/mm] gerade und $b$ ungerade. So ist die Gleichheit nur für $x-1$ aus [mm] $\IZ[\sqrt{-5}]$ [/mm] erfühllt. Also gibt es höhstens zwei Restklassen.
Auserdem ist wegen [mm] $1\not= 2a+b+b\sqrt{-5}$ [/mm] für alle $a,b [mm] \in \IZ$ [/mm]
[mm] $1\not\in (2,1+\sqrt{-5}) [/mm] $.
Deshalb besteht [mm] $\IZ[\sqrt{-5}]/(2,1+\sqrt{-5}$ [/mm] aus nur 2 Elementen und ist somit isomorph zu [mm] $\IF_2$
[/mm]
Wie würde man das mit der Norm zeigen?
mfg
j_Revan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mi 08.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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