Homomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 So 09.05.2010 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | sei [mm] \delta:G \to [/mm] G mit [mm] a\mapsto a^{-1}
[/mm]
Beh.: [mm] \delta [/mm] ist Homomorphismus [mm] \gdw [/mm] G ist abelsch |
Hallo zusammen,
die Antwort auf meine Frage ist wahrscheinlich trivial, aber ich sehe sie einfach nicht.
Der ganze Beweis sähe ja wie folgt aus:
[mm] \delta [/mm] ist Homomorphismus [mm] \gdw \delta(x\*y) [/mm] = [mm] \delta(x^{-1})\*\delta(y^{-1})\rightarrow(x \* y)^{-1} [/mm] = [mm] x^{-1}\*y^{-1} [/mm] und [mm] (y\*x)^{-1} [/mm] = [mm] y^{-1}\*x^{-1}
[/mm]
außerdem: [mm] (x\* y)^{-1} [/mm] = [mm] (y\* x)^{-1} [/mm]
somit: [mm] x^{-1} \* y^{-1} [/mm] = [mm] y^{-1} \* x^{-1} \gdw [/mm] x [mm] \* [/mm] y = y [mm] \* [/mm] x [mm] \gdw [/mm] G ist abelsch
Ich versteh einfach nicht woher ich wissen soll, dass das rot gedruckte gilt.
Würde mich über Hilfe freuen. Grüße,
Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 So 09.05.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Da ist auch noch ein kleiner Fehler drin.
Ganz allgemein gilt ja:
[mm] (x*y)^{-1}=y^{-1}*x^{-1} [/mm] (x und y vertauschen sich also)
Und da [mm] \delta [/mm] ein Homomorphismus ist gilt zusätzlich
[mm] \delta(x*y)=\delta(x)*\delta(y) \gdw (x*y)^{-1}=x^{-1}*y^{-1}
[/mm]
Insgesamt also:
[mm] y^{-1}*x^{-1}=(x*y)^{-1}=x^{-1}*y^{-1}.
[/mm]
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 So 09.05.2010 | | Autor: | oeli1985 |
> Ganz allgemein gilt ja:
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> [mm](x*y)^{-1}=y^{-1}*x^{-1}[/mm] (x und y vertauschen sich also)
>
das gilt ganz allgemein? kann man das irgendwie zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 So 09.05.2010 | | Autor: | Teufel |
Ja.
Behauptung: [mm] (x*y)^{-1}=y^{-1}*x^{-1}.
[/mm]
Nun ist [mm] (x*y)*(y^{-1}*x^{-1})=x*(y*y^{-1})*x^{-1}=x*(e*x^{-1})=x*x^{-1}=e
[/mm]
Also ist [mm] (y^{-1}*x^{-1}) [/mm] das Inverse zu x*y.
Und es gilt eben auch [mm] (x*y)*(x*y)^{-1}=e. [/mm] Und da das Inverse von x*y eindeutig bestimmt ist, muss [mm] (x*y)^{-1}=y^{-1}*x^{-1} [/mm] sein.
Wenn man "normal" mutipliziert, rechnet zwar immer mit [mm] "(x*y)^n=x^n*y^n", [/mm] aber das gilt eben nur, weil die normale Multiplikation zusätzlich kommutativ ist. Aber im Allgemeinen muss man eben die Elemente vertauschen. Da z.B. die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist, gilt dort auch [mm] (A*B)^{-1}=B^{-1}*A^{-1}.
[/mm]
Teufel
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