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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 So 15.03.2009 | | Autor: | pittster |
Hallo,
Gerade frage ich mich, wieso bei einer isomorphen Abbildung $f: X [mm] \to [/mm] Y$, die umkehrabbildung [mm] f^{-1} [/mm] "nur" ein Homomorphismus ist. Immerhin sollte die Umkehrabbildung einer bijektiven Abbildung doch auch bijektiv sein, oder?
lg, Dennis
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 So 15.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Die Umkehrabbildung [mm] f^{-1}einer [/mm] Abbildung f existiert überhaupt nur, wenn f bijektiv ist. Dann ist [mm] $f^{-1}$ [/mm] aber automatisch auch bijektiv! (Beweis?)
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 So 15.03.2009 | | Autor: | pittster |
Das ist mir schon klar.
Wenn es mit $f: X [mm] \to [/mm] Y$ genau ein $y =f(x)$ mit $x [mm] \in [/mm] X$ gibt, dann lässt sich das eindeutig zurückbestimmen. Deshalb verstehe ich ja nicht, dass ein [mm] f^{-1} [/mm] des Isomorphismus f nur ein Homomorphismus ist. Oder wurde es stillschweigend vorrausgesetzt, dass er doch ein Isomorphismus ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 So 15.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> Wenn es mit [mm]f: X \to Y[/mm] genau ein [mm]y =f(x)[/mm] mit [mm]x \in X[/mm] gibt,
> dann lässt sich das eindeutig zurückbestimmen. Deshalb
> verstehe ich ja nicht, dass ein [mm]f^{-1}[/mm] des Isomorphismus f
> nur ein Homomorphismus ist. Oder wurde es stillschweigend
> vorrausgesetzt, dass er doch ein Isomorphismus ist?
Wie genau habt ihr Isomorphismus definiert? Um welche genaue Struktur geht es eigentlich? Gruppen, Vektorräume? Es ist doch so, wenn man einen Gruppen- oder Vektorraumhomomorphismus hat (also einen Isomorphismus), dann ist die Umkehrabbildung automatisch auch bijektiv (klar) und ein Gruppen- bzw. Vektorraumhomomorphismus (nicht so ganz klar... aber einfach), also ebenfalls ein Isomorphismus.
Vielleicht bist du auch verwirrt durch die Formulierung [mm] "$f^{-1}$ [/mm] ist [nur] ein Homomorphismus". Aber Isomorphismen sind doch auch nur (spezielle) Homomorphismen.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 So 15.03.2009 | | Autor: | pittster |
Es handelt sich um Gruppen.
Ok, dann hat der Autor des buches wohl den Isomorphismus unter den Tisch fallen lassen und vorrausgesetzt, dass der Leser selbst drauf kommt.
Danke aber für deine Geduld.
lg, Dennis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 So 15.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Naja, was heißt unter den Tisch fallen lassen. Wie gesagt, dass die Umkehrabbildung auch bijektiv ist folgt automatisch, das muss man eigentlich nicht nochmal erwähnen. Wie ich bereits erwähnt habe muss man auch nicht verlangen dass die Umkehrabbildung ein Homomorphismus ist, das folgt auch aus der Tatsache, das die Abbildung ein Hom und bijektiv ist.
Gruß, Robert
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