Hornaschema < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Fr 24.12.2004 | | Autor: | shifty |
Hallo,
Gegeben ist das Polynom: P(x)=xhoch4+x³-11²-9x+18
Ich hab mit Honorschema an der Stelle x=0.5 folgendes herausbekommen:
10,9375.
Damit hab ich den a.) Aufgabenteil bereits erfüllt.
Nun heißt es:
b.) Bestimmen Sie ausgehend von einer ersten intuitiv ermittelten Nullstelle auf dem Wege der Polynomdivision (Hornerschema suksessive alle Nullstellen des Polynoms.)
Intuitiv hab ich x= 1 als Nullstelle gefunden, muss ich jetzt wiederrum mit Hornorschema an der Stelle x=1 ansetzen usw. weil mit Polynomdivision durch x-1 hatte ich immer Rest von 1 .
Gruß
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Fr 24.12.2004 | | Autor: | shifty |
Hallo,
es klappte ich hab dann x³+2x²-9x-18 heraus und bin jetzt dabei eine Nullstelle zu erraten, oder geht das mit dem Horner einfacher, ich muss jetzt ja wieder eine finden, nur wie?!
|
|
|
| |
|
Hallo,
probiere einfach alle Teiler des Absolutgliedes -18 aus. Dabei sind auch positive und negative Teiler zu berücksichtigen.
Mit Teiler meine ich natürlich alle ganzzahligen Teiler des Absolutgliedes.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Fr 24.12.2004 | | Autor: | shifty |
Hallo,
ich hab die Aufgabe im absolutem Glied falsch abgeschrieben statt 18 musste es 19 heißen, jetzt geht es auch glatt auf.
Aber dennoch hab ich noch eine weitere Frage:
xhoch 4-x³-x
Davon möchte ich die Nullstellen berechnen, da ich nicht substituieren kann mache ich folgendes:
x ausklammern:
x(x³-x²-1)
Jetzt gilt ja der Satz vom Nullprodukt und somit habe ich bereits die erste Lösung x1=0.
Das andere Polynom x³-x²-1 ist ja eine kubische Funktion, leider komme ich da absolut auf keine weitere Nullstelle, sie ist sehr sehr krumm ich hab es mir mal durch ein Java Applet zeichnen lasen, hab ich Recht!?
Gibt es eine einfache Möglichkeit die Nullstellen zu berechnen?
P.S Hat jemand ein gutes einfaches Matheprogramm auf Lager?
Wieso ist das Forum eigentlich so komplex aufgebaut, in anderen vBulletin oder Woltlab Boards findet man sich wesentlich leichter zurecht, ich kann nicht einfach auf irgendwas antworten ohne nicht vorher den Thread iregendwie zu kennzeichnen.
Macht den Server auch etwas schneller.
Mfg shifty
|
|
|
| |
|
Hi,
> Das andere Polynom $p(x) = [mm] x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] - 1$ ist ja eine kubische
> Funktion, leider komme ich da absolut auf keine weitere Nullstelle,
> Gibt es eine einfache Möglichkeit die Nullstellen zu
> berechnen?
Da gäbe es mehrere Möglichkeiten. Wenn du schnell zu einer Lösung kommen willst, kannst du ein Näherungsverfahren wie z.B. das Newton-Verfahren benutzen:
[m]x_{i + 1} = x_i - \frac{{f\left( {x_i } \right)}}{{f'\left( {x_i } \right)}}[/m]
In unserem Falle heißt das:
[m]x_{i + 1} = x_i - \frac{{x_i ^3 - x_i ^2 - 1}}{{3x_i ^2 - 2x_i }} = \frac{{2x_i ^3 - x_i ^2 + 1}}{{x_i \left( {3x_i - 2} \right)}}[/m]
Wenn wir die Funktion zeichnen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Sehen wir, daß [mm] $p\left( {1.5} \right) \approx [/mm] 0$. Wir benutzen das als Startwert für das Newton-Verfahren:
[m]\begin{array}{*{20}c}
{{\text{Startwert }}\left( {x_i } \right)} &\vline & {{\text{Ergebnis }}\left( {x_{i + 1} } \right)} \\
\hline
{\tfrac{3}
{2}} &\vline & {\tfrac{{22}}
{{15}}} \\
\hline
{\tfrac{{22}}
{{15}}} &\vline & {\tfrac{{17411}}
{{11880}}} \\
\hline
{\tfrac{{17411}}
{{11880}}} &\vline & {\tfrac{{4315690782791}}
{{2944715813820}} \approx 1.465571231} \\
\end{array}[/m]
Hier gibt es allerdings auch eine Möglichkeit eine exakte Lösung zu finden. Dies geht durch die Formeln von Cardano. Es ist quasi ein "Kochrezept" für Polynome 3ten Grades:
[m]\begin{gathered}
{\text{Gesucht: }}x^* {\text{ mit }}x^* ^3 - x^* ^2 - 1 = 0 \hfill \\
{\text{L\"osung:}} \hfill \\
y = x^* - \frac{1}
{3};{\text{ }}3p = - \frac{1}
{3};{\text{ }}2q = - \frac{2}
{{27}} - 1 \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Wir erhalten die Gleichung [mm] $y^3 [/mm] + 3py + 2q = 0$. In unserem Falle gilt für die Diskriminante [m]D: = q^2 + p^3 = \left( {\frac{1}{{27}} + \frac{1}
{2}} \right)^2 - \frac{1}{{9^3 }} = \frac{{31}}{{108}}[/m]. Damit ist D > 0 und die Gleichung hat eine reelle und zwei komplexe Lösungen. Da wir uns hier aber nur für die reelle Lösung interessieren, gilt:
[m]\begin{gathered}
y_1 = u + v = \sqrt[3]{{ - q + \sqrt D }} + \sqrt[3]{{ - q - \sqrt D }} = \sqrt[3]{{\frac{{29}}
{{54}} + \sqrt {\frac{{31}}
{{108}}} }} + \sqrt[3]{{\frac{{29}}
{{54}} - \sqrt {\frac{{31}}
{{108}}} }} \hfill \\
= \sqrt[3]{{\frac{{29}}
{{54}} + \frac{{\sqrt {93} }}
{{18}}}} + \sqrt[3]{{\frac{{29}}
{{54}} - \frac{{\sqrt {93} }}
{{18}}}} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Wir setzen dies für unser y ein:
[m]y = x^* - \frac{1}{3} \Leftrightarrow x^* = y + \frac{1}{3} = \sqrt[3]{{\frac{{29}}{{54}} + \frac{{\sqrt {93} }}{{18}}}} + \sqrt[3]{{\frac{{29}}{{54}} - \frac{{\sqrt {93} }}{{18}}}} + \frac{1}{3}[/m]
Damit haben wir die exakte Nullstelle gefunden.
Viele Grüße
Karl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
