Hp-und Tp bestimmen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Di 17.04.2007 | | Autor: | m.styler |
| Aufgabe | Hoch-und Tiefpunkte und Nullstellen mithilfe des Vorzeichenwechselkriteriums bestimmen.
Graph skizieren.
1) [mm] x^4 [/mm] -x |
Hallo!
f´(x)=4x³-1
not.Bed. f´(x)=0
4x³-1=0
x³=??
Kann mir jemand zeigen, wie ich weiter rechnen soll?
danke im voraus!
mfg m.styler
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Di 17.04.2007 | | Autor: | ONeill |
Nabend!
Nullstellen:
[mm] f(x)=x^4-x
[/mm]
[mm] 0=x^4-x [/mm] da kann man dann x ausklammern
0=x und 1=x
[mm] N_1(0/0) N_2(1/0)
[/mm]
Die braucht man aber nicht mit dem VZW Kriterium überprüfen!
Extremstellen:
notwendige Bedingung: f´(x)=0
[mm] 0=4x^3-1
[/mm]
[mm] 0,25=x^3
[/mm]
[mm] \wurzel[3]{0,25}=x
[/mm]
hinreichende Bedingung mit dem VZW Kriterium:
Hier nimmt man einen Wert, der etwas kleiner ist, als der zu überprüfende und ein etwas größerer.
Nehmen wir mal 0,6 und 0,7. Das wird in die erste Ableitung eingesetzt:
f´(0,6)=-0,136
f´(0,7)=0,372
Hier hast du ein Vorzeichenwechsel bon Minus nach Plus. Dann hast du ein Minimum.
Dazu gibt es einen sehr guten Beitrag von Loddar, den ich hier mal Zitiere:
"Ein Vorzeichenwechsel in der 1. Ableitung von "+" nach "-" bedeutet:
Hochpunkt bzw. rel. Maximum.
Dies ist auch recht anschaulich und leicht zu merken.
Situation Hochpunkt:
Die 1. Ableitung gibt ja die Steigung meiner Funktion an.
Eine positive Steigung gibt mir dann an, daß der Funktionsgraph steigt, sprich anwächst.
Dann wird die Steigung = 0 (genau an unserer zu untersuchenden Stelle).
Anschließend fällt mein Funktionsgraph wieder, d.h. die Steigung wird negativ.
Wir haben also ein Vorzeichenwechsel von "+" nach "-" vorliegen.
Analog gilt das für rel. Minima und VZW von "-" nach "+". "
Noch mehr gibts hier: https://matheraum.de/read?t=29216&v=t
Ich hoffe das hilft weiter!
Gruß ONeill
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Mi 18.04.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Danke!
Wie berechne ich f´(x)=4x-1 mit den Werten 0,6 und 0,7?
Kann ich verschiedene Werte zur Überprüfung nehmen, oder muss es einfach so sein, dass ein Wert kleiner und der andere größer ist? Wie kann man es verallgemeinern?
Wie wurde hier vorgegangen?
f´(0,6)/ f´(0,7)?
Beim einsetzen dieser Werte für x, erhalte ich 1,4 und 1,8, was falsch wäre, wie mache ich es richtig?
danke im voraus!
mfg m.styler
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Mi 18.04.2007 | | Autor: | ONeill |
> Wie berechne ich f´(x)=4x-1 mit den Werten 0,6 und 0,7?
nicht f´(x)=4x-1, sondern [mm] f´(x)=4x^3-1
[/mm]
dann wird einfach für x eingesetzt, also [mm] f´(0,6)=4*(0,6)^3-1 [/mm] und [mm] f´(0,7)=4*(0,7)^3-1
[/mm]
> Kann ich verschiedene Werte zur Überprüfung nehmen, oder
> muss es einfach so sein, dass ein Wert kleiner und der
> andere größer ist? Wie kann man es verallgemeinern?
ja du nimmst einfach einen Wert, der etwas kleiner ist, als der Wert den du überprüfen willst und einen der etwas größer ist. Du must nur achten, dass er dann auch noch zu dem Extrempunkt passt.
Bekommst du zb nur eine Lösung raus, kannst du zwei belibige Werte nehmen, solange einer größer und einer kleiner ist.
> Wie wurde hier vorgegangen?
>
> f´(0,6)/ f´(0,7)?
hab ich oben schon beantwortet 
> Beim einsetzen dieser Werte für x, erhalte ich 1,4 und 1,8,
> was falsch wäre, wie mache ich es richtig?
Du hast das hoch drei vergessen, guck mal oben in meiner Antowrt.
Gruß ONeill
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Mi 18.04.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Danke!
Ich habe noch probleme hierbei:
[mm] x^4-x, [/mm] wie bekomme ich den x=1 Wert heraus?
Und hier:
4x³-1=0 <<hier einfach nullsetzen
0,25=x³ << woher bekomme ich die 0,25 heraus?
3.Wurzel aus 0,25=x << steht die hoch3 für 3.Wurzel??
Das wäre das was ich noch gerne wissen würde.
Danke im voraus
m.styler
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> Hallo!
>
Hi
> Danke!
>
> Ich habe noch probleme hierbei:
>
> [mm]x^4-x,[/mm] wie bekomme ich den x=1 Wert heraus?
>
gleich 0 setzen
x ausklammern:
[mm] x(x^3-1)=0
[/mm]
[mm] x^3-1=0 [/mm] oder x=0
[mm] x^3=1
[/mm]
[mm] x=\wurzel[3]{1}
[/mm]
x=1
Lösungsmenge: x=1 [mm] \vee [/mm] x= 0
> Und hier:
>
> 4x³-1=0 <<hier einfach nullsetzen
Auf beiden Seiten 1 addieren:
[mm] 4x^3=1
[/mm]
Dann durch 4 teilen:
[mm] x^3=1/4
[/mm]
> 0,25=x³ << woher bekomme ich die 0,25 heraus?
siehe oben.
> 3.Wurzel aus 0,25=x << steht die hoch3 für 3.Wurzel??
>
Ja gemeint ist die dritte Wurzel aus 0,25.
> Das wäre das was ich noch gerne wissen würde.
>
> Danke im voraus
> m.styler
>
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 So 22.04.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Ich habe das verstanden, bloß habe ich mit dieser Funktion "f(x)=x+1/x" Probleme.
Meine Ansätze sehen so aus:
1)x+1/x=0; x=0; x(1+ ?)<was kommt dabei heraus?
2)VZW-Kriterium:
Werte: (Ich nehme wieder die Werte 0,6 und 0,7)
f(0,6)=1*(-1/0,6²)=1-2,7=-1,7
f(0,7)=1*(-1/0,7²)=1-2,04=-1,04
Jetzt sind beide Werte negativ, was bedeutet das?
Ein absolutes Maximum?
danke im voraus!
mfg m.styler
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 So 22.04.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin m.,
ziemlich wirr, was du da postest...
> Hallo!
>
> Ich habe das verstanden, bloß habe ich mit dieser Funktion
> "f(x)=x+1/x" Probleme.
das ist eine gebrochenrationale funktion, richtig? also:
f(x) = [mm] \bruch{x+1}{x}
[/mm]
=> Diese Funktion hat eine Definitionslücke an der Stelle x=0!!
> Meine Ansätze sehen so aus:
> 1)x+1/x=0; x=0; x(1+ ?)<was kommt dabei heraus?
Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion sind dort zu finden, wo der Zähler null wird (selbstverständlich darf der Nenner nicht null werden!).
x+1 = 0 => x=-1 ist nullstelle der funktion.
> 2)VZW-Kriterium:
>
> Werte: (Ich nehme wieder die Werte 0,6 und 0,7)
> f(0,6)=1*(-1/0,6²)=1-2,7=-1,7
> f(0,7)=1*(-1/0,7²)=1-2,04=-1,04
>
> Jetzt sind beide Werte negativ, was bedeutet das?
> Ein absolutes Maximum?
nein, absolute maxima / minima kann man so sicher nicht nachweisen.
grundsätzlich: wie kommst du auf die idee, dass zwischen 0,6 und 0,7 die 1. ableitung der funktion wechselt?
zunächst musst du für das VZW-Kriterium die 1. ableitung der funktion bilden.
f'(x) = [mm] \bruch{(x+1)*1 - 1*x}{x^2} [/mm] quotientenregel !!
dann die 1. ableitung nullsetzen:
0 = [mm] \bruch{(x+1)*1 - 1*x}{x^2}
[/mm]
0 = x+1 - x => keine nullstellen !!
damit ist das VZW-Kriterium irrelevant!
gruß
wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 So 22.04.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Also, die Funktion sieht so aus: [mm] x+\bruch{1}{x}(ist [/mm] es gleich dem [mm] \bruch{x+1}{x}?)
[/mm]
Kann man mir den Rechenschritt wie in dem Thread davor erklären?
Und, wie kann ich es trotzdem per VZW-Kriterium beweisen?
danke im voraus!
m.styler
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 So 22.04.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
> Hallo!
>
> Also, die Funktion sieht so aus: [mm]x+\bruch{1}{x}(ist[/mm] es
> gleich dem [mm]\bruch{x+1}{x}?)[/mm]
ok. das ändert zwar nicht die definitionslücke bei x=0, aber die funktion sähe dann (nach auf-hauptnenner-bringen) so aus:
f(x) = [mm] \bruch{(x^2 +1)}{x}
[/mm]
die funktion hat keine nullstellen, da
[mm] x^2 [/mm] +1 imm größer null ist. (s.o.)
1.) ableitung bilden
f'(x)= [mm] {(x^2+1) - 2x*x}{x^2}
[/mm]
f'(x)= [mm] {-x^2+1}{x^2}
[/mm]
2.) 1. ableitung null setzen
0= - [mm] x^2 [/mm] +1 => x1=-1 und x2=1
3. jetzt vorzeichenwechsel-kriterium
für x=-1
f'(-1,1)= 0,19
f'(-0,9)= -0,21
treffer! das vorzeichen der ersten ableitung wechselt hier also in der umgebung der nullstelle der ersten ableitung von + nach -. d.h. hier liegt ein hochpunkt vor.
versuchs mal für x= 1 !
gruß
wolfgang
> Kann man mir den Rechenschritt wie in dem Thread davor
> erklären?
>
> Und, wie kann ich es trotzdem per VZW-Kriterium beweisen?
>
>
>
> danke im voraus!
> m.styler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 So 22.04.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Danke!
Nun, ich habe da noch einige Schritte, die für mich unverständlich sind.
1.Ableitung bilde:
Wieso benutze ich hier keine Summenregel, denn dann wäre es doch f´(x)= [mm] 1-\bruch{1}{x²}. [/mm]
Die 1.Ableitung gleich Null setzen:
Damit "-x²+1"
Rechenschritt:
-x²+1=0
x(-x+1)=0/-1
-x=-1/-x
0=-2
[mm] x_{1}=-2 [/mm] <<Richtig so?
[mm] x_{2}=-1/+x
[/mm]
[mm] x_{2}=1 [/mm] <<Richtig?
Und bei dem letzten , also das VZW-Kriterium:
Zitat:
für x=-1 <<Wieso nehme ich -1?
Wurde bei der Wahl der einzusetzenden Werte ausprobiert?
Also, "-1,1" und "-0,9"?
Bei mir kommen andere Werte heraus.
Und was haben diese Werte mit dem "für x=1" gemeinsam?
Einfach wegen dem "minus", und bei "plus 1" dann positiv.
danke im voraus!
mfg m.styler
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-x²+1=0
x(-x+1)=0/-1
-x=-1/-x
0=-2 <<Richtig so?
Das ist falsch, du kannst hier NICHT ausklammern, auf die 1 und die -1 kommt man so:
-x²+1=0 /+x²
1=x² / wurzel ziehen
x= 1 und -1 (wenn du ne wurzel ziehst, hast du IMMER plus minus)
um zu wissen, ob es ein HP oder ein TP ist, setzt du beide Werte in deine zweite Ableitung, wenn die ZAhl die dabei rauskommt kleiner 0 ist, hast du einen HP. Wenn die Zahl größer 0 ist, hast du einen TP
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 Mo 23.04.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin!
> Hallo!
>
> Danke!
>
> Nun, ich habe da noch einige Schritte, die für mich
> unverständlich sind.
>
> 1.Ableitung bilde:
> Wieso benutze ich hier keine Summenregel, denn dann wäre
> es doch f´(x)= [mm]1-\bruch{1}{x²}.[/mm]
klar, du kannst natürlich auch die summenregel anwenden. das ergebnis ist das selbe.
> Die 1.Ableitung gleich Null setzen:
> Damit "-x²+1"
>
> Rechenschritt:
> -x²+1=0
> x(-x+1)=0/-1
ergibt
x(x+1)=0 !!
und nicht:
> -x=-1/-x
> 0=-2
> Und bei dem letzten , also das VZW-Kriterium:
> Zitat:
> für x=-1 <<Wieso nehme ich -1?
> Wurde bei der Wahl der einzusetzenden Werte ausprobiert?
> Also, "-1,1" und "-0,9"?
> Bei mir kommen andere Werte heraus.
> Und was haben diese Werte mit dem "für x=1" gemeinsam?
> Einfach wegen dem "minus", und bei "plus 1" dann positiv.
du erhältst also zwei nullstellen x=-1 und x=1
für b e i d e musst du entweder mit Hilfe der 2. Ableitung oder mit Hilfe des VZW-Kriteriums prüfen, ob dort wirklich ein Extremum vorliegt (wenn ja, welches).
ich habe es Dir nur für x= -1 vorgerechnet.
gruß
wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Di 24.04.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Kann mir jemand die 1.Ableitung von [mm] \bruch{1}{2}x-\bruch{1}{x}, [/mm] damit ich sie berechnen kann?
danke im voraus!
mfg m.styler
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Hallo m.styler!
Forme hier um zu: [mm] $\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*x^1-x^{-1}$
[/mm]
Nun kannst Du hier mit der  Potenzregel ableiten.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Di 24.04.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
1.Ableitung=1/2x-x^^-2?
danke im voraus!
mfg m.styler
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Hallo,
so stimmt es leider nicht
[mm] \bruch{1}{2}x^{1} [/mm] Ableitung [mm] \bruch{1}{2}*1*x^{0} =\bruch{1}{2}
[/mm]
der Exponent verringert sich um 1, also 1-1=0 und der Exponent wird als Faktor geschrieben
[mm] -x^{-1} [/mm] Ableitung [mm] -(-1)x^{-2}=x^{-2}=\bruch{1}{x^{2}} [/mm] Begründung wie oben
also ergibt sich insgesamt: [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{1}{x^{2}} [/mm] als Ableitung
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Di 24.04.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Achso, danke!
Also, wenn ich die 1.Ableitung gleich 0 setze:
[mm] \bruch{1}{2}+\bruch{1}{x²}=-\bruch{1}{2}<
danke im voraus!
mfg m.styler
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Hallo,
so kannst du es aber nicht aufschreiben, du steckst zwei Gleichungen in eine Gleichung.
f'(x)=0 damit kannst du überprüfen, ob es Extrempunkte gibt,
[mm] 0=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{x^{2}}
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{2}=\bruch{1}{x^{2}} [/mm] diese Gleichung hat keine reelle Lösung, da das Quadrat einer Zahl immer positiv ist, mathematisch hat es die Bedeutung, deine gegebene Funktion besitzt keine Extrempunkte,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Di 24.04.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Danke!
Ich habe nur ein Problem:
Wie bekomme ich heraus durch das VZW-Kriterium, ob es ein HP oder TP gibt?
Meine Werte verändern nichts.
Kann mich einer aufklären?
danke im voraus!
mfg m.styler
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Hallo,
wir hatten vorhin festgestellt, deine Funktion besitzt KEINE Extremstellen, also brauchst du auch nicht das Vorzeichenwechselkriterium zu bemühen, um herauszufinden, ob an einer Stelle ein Maximum oder Minimu vorliegt. Das ist nur nötig, wenn eine Funktion überhaupt Extremstellen besitzt, also 1. Ableitung gleich Null. An diesen Stellen wendest du dann das Vorzeichenwechselkriterium an.
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mi 25.04.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Stimmt ja, danke.
Gibt es eine Möglichkeit, wie ich die Werte, die ich für das VZW-Kriterium brauche herauszubekommen, ohne sie zu raten?
danke im voraus!
mfg m.styler
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Do 26.04.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Nehmen wir mal an, wir hätte eine Extremstelle [mm] x_{e} [/mm] (In deinem Beispiel haben wir keine)
Dann betrachte ich "nah anliegende" Werte um [mm] x_{e}. [/mm] Aber so nahe Werte, dass ich nicht "über" einen anderen Markanten Punkt (Extremwert7Nullstelle/Wendepunkt) hinauskomme
Als Standard würde ich [mm] x_{e}\pm1, [/mm] oder den jeweils nächsten ganzzahligen Wert nehmen, geht das nicht, muss ich halt "nah" genug "heranrücken", so dass ich einen Wert bekomme.
Wichtig ist nur, dass ich keinen anderen markanten Punkt (Wendepunkt/Extrempunkt/Nullstelle) zwischen dem betrachteten Punkt und [mm] x_{e} [/mm] habe.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:10 Do 26.04.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
wenn es waagerechte tangenten gibt also stellen [mm] x_{e} [/mm] mit [mm] f'(x_{e})=0
[/mm]
dann kann ich mit dem VZW-Kriterium Extremstellen nachweisen:
wechselt das Vorzeichen in der Umgebung von [mm] x_{e} [/mm] von PLUS nach MINUS => liegt bei [mm] x_{e} [/mm] ein Hochpunkt
wechselt das Vorzeichen in der Umgebung von [mm] x_{e} [/mm] von MINUS nach PLUS => liegt bei [mm] x_{e} [/mm] ein Tiefpunkt.
Raten muß man hier nicht, sondern wählt eben zwei Werte, die relativ nahe an [mm] x_{e} [/mm] liegen. Auch wir haben nicht geraten sondern näherungsweise
[mm] f'(x_{e} [/mm] - 0,1) bzw. [mm] f'(x_{e} [/mm] + 0,1) betrachtet.
Durch Probieren bzw. Raten ermittelt man ggf. Nullstellen einer Funktion, wenn man diese nicht durch einfache Verfahren wie pq-Formel o.ä. ermitteln kann. Alternativ hierzu gibt es ggf. numerische Näherungsverfahren, die sind aber relativ kompliziert!
Das Raten von Nullstellen kann ich natürlich auch für Ableitungsfunktionen anwenden, also z.b. für f'(x).
Wenn ich z.b. die Nullstellen von f'(x) ermitteln soll, damit ich die Lösungen anhand des VZW-Kriteriums auf lokale Extrema überprüfen kann [und ich die Nullstellen nicht einfach ausrechnen kann], kann ich 1. eine Nst raten, 2. die Funktion ( f'(x) ) durch die Nullstelle teilen und dann weitersehen...
gruß
wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 Di 01.05.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Dank euch!
mfg m.styler
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