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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Di 29.01.2008 | | Autor: | ikkarus1 |
| Aufgabe | [mm] F(r)=R^2*G*r^{-2}
[/mm]
R=Erdradius 6370km
G=Gewichtskraft des Körpers am Boden
r=Abstand des Körpers vom Erdmittelpunkt
[mm] w=\integral_{a}^{b}{f(R^2*G*(\bruch{1}{r^2})) dx}=R^2*G\integral_{a}^{b}{f(\bruch{1}{r^2}) dx}=R^2*G*[\bruch{-1}{r}]^b_a=R^2*G*(\bruch{1}{a}-\bruch{1}{b}) [/mm] |
Guten Abend,
Ich werde in Mathe ein Referat über diese Aufgabe halten. Als ich angefangen habe sind einige Unklarheiten entstanden wie und warum man so diese Gleichung integriert.
Wäre wirklich nett wenn mir jemand diese Fragen beantworten könnte.
Meine Fragen:
1) Wieso darf man keine konstante integrieren?
also: [mm] w=\integral_{a}^{b}{f(R^2*G*(\bruch{1}{r^2}) dx} =R^2*G\integral_{a}^{b}{f(\bruch{1}{r^2}) dx}
[/mm]
2) Was ist am Ende mit r passiert?
[mm] R^2*G\integral_{a}^{b}{f(\bruch{1}{r^2}) dx}=R^2*G*[\bruch{-1}{r}]^b_a=R^2*G*(\bruch{1}{a}-\bruch{1}{b})
[/mm]
Ich hoffe meine Fragen sind verständlich gestellt.
Vielen Dank für die Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
der Erdradius R und die Gewichtskraft G des jeweiligen Körpers sind Konstanten, diese kannst du als Faktor vor das Integral schreiben, wenn du zu diesem Thema ein Referat halten möchtest, kennst du schon
[mm] \integral_{}^{}{3x dx}=3\integral_{}^{}{x dx}=3*\bruch{1}{2}x^{2}+C
[/mm]
achte beim 2. Teil auf eine saubere Schreibweise
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{r^{2}} dr}=\integral_{}^{}{r^{-2} dr}=\bruch{1}{-2+1}*r^{-2+1}+C=-1*r^{-1}+C=\bruch{-1}{r}+C
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Di 29.01.2008 | | Autor: | ikkarus1 |
$ [mm] \integral_{}^{}{3x dx}=3\integral_{}^{}{x dx}=3\cdot{}\bruch{1}{2}x^{2}+C [/mm] $
Frage dazu:
3 ist die Konstante.
C ist auch eine Konstante
-> ist 3=C?
Woher weiß ich , dass die Gewichtskraft G und der Erdradius R in diesem Fall Konstant sind?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:46 Di 29.01.2008 | | Autor: | ONeill |
> [mm]\integral_{}^{}{3x dx}=3\integral_{}^{}{x dx}=3\cdot{}\bruch{1}{2}x^{2}+C[/mm]
>
> Frage dazu:
> 3 ist die Konstante.
> C ist auch eine Konstante
> -> ist 3=C?
Nein!
C ist eine so genannte Integrationskonstante. Anschaulich läuft das so ab.
Sagen wir mal du hast eine ganz beliebige Funktion:
[mm] f(x)=3x^2+3
[/mm]
Die Leitest du nun ab:
f´(x)=6x
Nun Integrierst du mal wieder, da erwartest du ja erstmal, dass das selbe raus kommt, kennst du jedoch nur f´(x) und integrierst du, dann kommt raus:
[mm] f(x)=3x^2
[/mm]
Du siehst also, dass deine drei weg fällt.
Das aht zur Folge:
Wenn du eine eine Funktion integrierst, dann ergeben sich unendlich viele Stammfunktionen, denn c kann jeden Wert annehmen. Das ist mehr oder weniger eine formale Sache, die du erst bei komplizierteren Aufgaben brauchst und meist zu vernachlässigen ist.
> Woher weiß ich , dass die Gewichtskraft G und der
> Erdradius R in diesem Fall Konstant sind?
Naja das sind Konstanten (wenn man von kleinen Abweichungen absieht), weil du, wenn du in Berlin auf die Waage steigst, zeigt die Waage dein Gewicht an (eigentlich eine Kraft), steigst du in New York auf die Waage, zeigt diese das selbe an. Also ist deine Gewichtskraft konstant.
Der Erdradius ist ein mathematischer Mittelwert. Natürlich hast du auf Meereshöhe einen anderen Radius, als wenn du auf der Zugspitze stehst, sowas wird aber in 99% aller Rechnungen ignoriert und wenn nicht, dann steht das dabei.
In der Oberstufe ist es immer so (mir ist dort nie was anderes unter gekommen), dass du nur eine Variable hast, zB dein x und der Rest sind Konstanten.
Gruß ONeill
Gruß ONeill
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:18 Di 29.01.2008 | | Autor: | ikkarus1 |
Hey cooli, jetzt seh ich es auch.
Danke nochmals and euch beide.
mfG,
ikkarus1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 Mi 26.03.2008 | | Autor: | abakus |
> > [mm]\integral_{}^{}{3x dx}=3\integral_{}^{}{x dx}=3\cdot{}\bruch{1}{2}x^{2}+C[/mm]
>
> >
> > Frage dazu:
> > 3 ist die Konstante.
> > C ist auch eine Konstante
> > -> ist 3=C?
> Nein!
> C ist eine so genannte Integrationskonstante. Anschaulich
> läuft das so ab.
> Sagen wir mal du hast eine ganz beliebige Funktion:
> [mm]f(x)=3x^2+3[/mm]
> Die Leitest du nun ab:
> f´(x)=6x
> Nun Integrierst du mal wieder, da erwartest du ja erstmal,
> dass das selbe raus kommt, kennst du jedoch nur f´(x) und
> integrierst du, dann kommt raus:
> [mm]f(x)=3x^2[/mm]
> Du siehst also, dass deine drei weg fällt.
> Das aht zur Folge:
> Wenn du eine eine Funktion integrierst, dann ergeben sich
> unendlich viele Stammfunktionen, denn c kann jeden Wert
> annehmen. Das ist mehr oder weniger eine formale Sache, die
> du erst bei komplizierteren Aufgaben brauchst und meist zu
> vernachlässigen ist.
> > Woher weiß ich , dass die Gewichtskraft G und der
> > Erdradius R in diesem Fall Konstant sind?
> Naja das sind Konstanten (wenn man von kleinen
> Abweichungen absieht), weil du, wenn du in Berlin auf die
> Waage steigst, zeigt die Waage dein Gewicht an (eigentlich
> eine Kraft), steigst du in New York auf die Waage, zeigt
> diese das selbe an. Also ist deine Gewichtskraft konstant.
Das ist falsch. Konstant ist lediglich die Masse. Die Gewichtskraft ist ortsabhängig (am Pol z.B. größer als am Äquator, auf dem Mond kleiner als auf der Erde, in Merreshöhe größer als auf hohen Bergen. Die Gewichtskraft nimmt also mit steigender Höhe ständig ab. Das G steht aber in dieser Aufgabe für das konkrete Gewicht, das der Körper am Startpunkt an der Erdoberfläche hatte. Das ist heute so groß wie in drei Tagen, also für diesen Ort konstant. (Bitte jetzt nicht pingelig werden und einen Minimaleinfluss von Ebbe und Flut auf Schwankungen der Erdanziehungskraft ins Spiel bringen!)
Gruß Abakus
> Der Erdradius ist ein mathematischer Mittelwert. Natürlich
> hast du auf Meereshöhe einen anderen Radius, als wenn du
> auf der Zugspitze stehst, sowas wird aber in 99% aller
> Rechnungen ignoriert und wenn nicht, dann steht das dabei.
> In der Oberstufe ist es immer so (mir ist dort nie was
> anderes unter gekommen), dass du nur eine Variable hast, zB
> dein x und der Rest sind Konstanten.
>
> Gruß ONeill
>
> Gruß ONeill
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:08 Do 27.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
vlt. noch eine kleine Anmerkung dazu:
Wenn man da ganze so schreibt, sieht man es schöner:
"Eigentlich" hat man ja für die Kraft zwischen Masse und Erde folgende Formel:
[mm] $F(r)=\gamma \frac{m*M_e}{r^2}$, [/mm] wenn r größer oder gleich dem Erdradius ist.
Das G beinhaltet jetzt die Gewichtskraft auf der Erde, also F(r). Es gilt: [mm] $G=F(r)=\gamma \frac{m*M_e}{R^2}$
[/mm]
Wenn man sich das jetzt so anschaut, kann man F(r) schön so schreiben:
[mm] $F(r)=G*R^2*\frac{1}{r^2}$ [/mm] Es "stört" ja nur das [mm] R^2 [/mm] im Nenner, das gleicht man durch die Mult. wieder aus.
Und wenn man sich jetzt an einem Ort befindet, der sich im Abstand von nahezu R zum Erdmittelpunkt befindet, dann ist das völlig okay. Selbst wenn man sich 200 Meter drüber oder drunter befindet, macht das im Vergleich zum "großen" Erdradius so gut wie nichts aus. Bemerkbar wirds erst, wenn man schon den ein oder anderen Kilometer draufpackt.
Achso, nochwas: Die Integrationskonstanten sind immer dann wichtig, wenn man solche Integrale, die es in der Physik ja häufig gibt, "allgemein" Integriert, also eine allgemeine Lösung möchte, und dann erst die Anfangswerte eingeben will. Wenn man dann die Konstanten nich hätte, würde jede Flugparabel gleich aussehen....zumindest von der Mathematischen Sicht her. Denn ohne die Konstanten hätte man ja bei a=const. nur die Formeln
$a=const.$
$v=at$
[mm] $s=at^2/2$, [/mm] ohne dass man noch ein [mm] v_0 [/mm] dazupacken könnte oder ein [mm] s_0 [/mm] etc.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Fauve |
Hallo ikkarus
muss mein referat auch in Mathe über Integrale und ihre physikalische Anwendung halten und da bin cih auf dein integral gestoßen. Könntest du mir vielleicht sagen was für eine Aufgabenstellung hinter diesem Integral steht oder welche physikalischen Hintergründe das Integral hat?
Wäre echt super nett wenn du ,mri antworten könntest!!
Gruß Fauve
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Hallo!
Dieses Integral beschreibt die Hubenergie, um einen Körper von der Höhe a auf die Höhe b zu bringen.
Du kennst sicher F=mg , und da Energie gleich Kraft mal Weg ist, E=mgh , aber das gilt nur, solange das g überall hinreichend konstant ist. Ist die Höhendifferenz größer, braucht man das allgemeine Gravitationsgesetz für kugelförmige Massen:
[mm] F=\gamma\frac{Mm}{r^2}
[/mm]
An der Erdoberfläche gilt:
[mm] F=\gamma\frac{Mm}{R_E^2}=mg
[/mm]
[mm] \gamma\frac{M}{R_E^2}=g
[/mm]
[mm] $\gamma [/mm] M = [mm] R_E^2g$
[/mm]
wenn man das einsetzt, kommt man auf
[mm] F=g\frac{R_E^2m}{r^2}
[/mm]
Dies ist etwas handlicher, da die meisten Leute den Erdradius und sicher g kennen, aber kaum jemand kennt [mm] \gamma [/mm] auswendig.
Um die Energie zu berechnen, die man von a nach b benötigt, teilt man die Strecke in viele kleine Stückchen $dr$ auf, auf denen sich diese Kraft kaum ändert. Diese Einzelenergien muß man aufaddieren, bzw daraus wird die Integration.
[mm] $E=\int F\,\red{dr}$ [/mm] (Oben stand dx, aber die Variable ist ja r!!!)
Wenn du weitere physikalische Anwendungen für Integrale suchst, ist das was für dich:
Du weißt, daß für beschleunigte Bewegungen v=at gilt. Aber auch nur, wenn a konstant ist, sonst muß man auch hier integrieren:
[mm] $v=\int a\,dt$
[/mm]
Für a=const liefert dieses INtegral tatsächlich v=at !
Und wenn du nochmal integrierst, bekommst du die Strecke [mm] s=\frac{1}{2}at^2 [/mm] raus.
Ich habe jetzt die Integrationskonstanten verschlampt, das solltest du nicht tun. Welche Bedeutung haben die Konstanten?
Du kannst nun auf diese Weise die Formeln für gleichmäßig beschleunigte Bewegungen herleiten, mit denen du sicher schon oft in Physik rumgerechnet hast. Nun könntest du mal die Formeln herleiten, wenn a eben nicht konstant ist, sondern selbst eine Funktion der Zeit ist. Lass deiner Phantasie da mal freien Lauf!
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