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| Aufgabe | Betrachen Sie folgende hyperbolische Funktionen:
[mm]sinh(x) := \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!}[/mm]
[mm]cosh(x) := \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{2k}}{(2k)!}[/mm]
a) Zeigen Sie, dass der Konvergenzradius beider Reihen [mm]\infty[/mm] ist.
b) Verifizieren Sie folgende Relationen:
b1) [mm]exp(x) = sinh(x) + cosh(x)[/mm]
b2) [mm]cosh(x) = \bruch{1}{2}\left ( exp(x) + exp(-x) \right ), \qquad cosh(-x) = cosh(x)[/mm]
b3) [mm]sinh(x) = \bruch{1}{2}\left ( exp(x) - exp(-x) \right ), \qquad sinh(-x) = -sinh(x)[/mm] |
Hallo zusammen,
ich möchte mich zuersteinmal um a) kümmern.
Mittels Quotientenkriterium komme ich (was [mm]sinh(x)[/mm] angeht) auf
[mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \left | \bruch{a_{k+1}}{a_k} \right | = \left | \bruch{x^{2k+2} * (2k+1)!}{(2k+2)! * x^{2k+1}} \right | = \left | \bruch{x^{2k} * x * x * (2k+1)!}{(2k+2)! * x^{2k} * x} \right | = \left | \bruch{x (2k+1)!}{(2k+2)!} \right | = \left | \bruch{x(2k+1)!}{(2k+2) * (2k+1)!} \right | = \bruch{\left | x \right |}{(2k+2)} < 1[/mm]
[mm]\bruch{\left | x \right |}{(2k+2)} < 1 \Rightarrow \left | x \right | < (2k+2)[/mm]
So werde ich aber nicht konkret zeigen können, dass der Konvergenzradius unendlich ist, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 So 25.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Betrachen Sie folgende hyperbolische Funktionen:
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> [mm]sinh(x) := \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!}[/mm]
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> [mm]cosh(x) := \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{2k}}{(2k)!}[/mm]
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> a) Zeigen Sie, dass der Konvergenzradius beider Reihen
> [mm]\infty[/mm] ist.
> b) Verifizieren Sie folgende Relationen:
>
> b1) [mm]exp(x) = sinh(x) + cosh(x)[/mm]
>
> b2) [mm]cosh(x) = \bruch{1}{2}\left ( exp(x) + exp(-x) \right ), \qquad cosh(-x) = cosh(x)[/mm]
>
> b3) [mm]sinh(x) = \bruch{1}{2}\left ( exp(x) + exp(-x) \right ), \qquad sinh(-x) = -sinh(x)[/mm]
>
> Hallo zusammen,
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> ich möchte mich zuersteinmal um a) kümmern.
>
> Mittels Quotientenkriterium komme ich (was [mm]sinh(x)[/mm] angeht)
> auf
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \left | \bruch{a_{k+1}}{a_k} \right | = \left | \bruch{x^{2k+2} * (2k+1)!}{(2k+2)! * x^{2k+1}} \right | = \left | \bruch{x^{2k} * x * x * (2k+1)!}{(2k+2)! * x^{2k} * x} \right | = \left | \bruch{x (2k+1)!}{(2k+2)!} \right | = \left | \bruch{x(2k+1)!}{(2k+2) * (2k+1)!} \right | = \bruch{\left | x \right |}{(2k+2)} < 1[/mm]
>
Hallo,
du hättest diem Limes für k gegen unendlich nach jedem Gleichheitszeichen mitschreiben müssen.
Dein letzter Quotient
[mm]\bruch{\left | x \right |}{(2k+2)}[/mm]
geht mit wachsendem k gegen Null FÜR ALLE x.
Gruß Abakus
> [mm]\bruch{\left | x \right |}{(2k+2)} < 1 \Rightarrow \left | x \right | < (2k+2)[/mm]
>
> So werde ich aber nicht konkret zeigen können, dass der
> Konvergenzradius unendlich ist, oder?
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Hallo abakus,
danke für Deine Hilfe.
> du hättest diem Limes für k gegen unendlich nach jedem
> Gleichheitszeichen mitschreiben müssen.
Oops, das stimmt natürlich …
> Dein letzter Quotient
> [mm]\bruch{\left | x \right |}{(2k+2)}[/mm]
> geht mit wachsendem k
> gegen Null FÜR ALLE x.
Dann habe ich ja genau das gezeigt, was ich zeigen wollte, denn:
Wenn eine Reihe für alle x konvergiert, dann ist der Konvergenzradius unendlich.
Analog zu [mm]sinh(x)[/mm] komme ich für [mm]cosh(x)[/mm] nach einigem Umformen auf:
[mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \left | \bruch{a_{k+1}}{a_k} \right |= \bruch{\left | x \right |}{4k^2 + 6k + 2} = 0[/mm]
Zu b1) habe ich einfach folgende Gleichung aufgestellt …
[mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^k}{k!} = \summe_{k=0}^{\infty} \left ( \bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + \bruch{x^{2k}}{(2k)!} \right )[/mm]
… und so lange umgeformt, bis herauskam:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^k}{k!} = \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{2k+1} + x^{2k}}{(2k)!}[/mm]
Allerdings stecke ich dann fest. Wie geht es (von hier aus) weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 So 25.11.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo Apfelchips,
> Hallo abakus,
>
> danke für Deine Hilfe.
>
>
> > du hättest diem Limes für k gegen unendlich nach jedem
> > Gleichheitszeichen mitschreiben müssen.
>
> Oops, das stimmt natürlich …
>
>
> > Dein letzter Quotient
> > [mm]\bruch{\left | x \right |}{(2k+2)}[/mm]
> > geht mit
> wachsendem k
> > gegen Null FÜR ALLE x.
>
> Dann habe ich ja genau das gezeigt, was ich zeigen wollte,
> denn:
> Wenn eine Reihe für alle x konvergiert, dann ist der
> Konvergenzradius unendlich.
>
> Analog zu [mm]sinh(x)[/mm] komme ich für [mm]cosh(x)[/mm] nach einigem
> Umformen auf:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \left | \bruch{a_{k+1}}{a_k} \right |= \bruch{\left | x \right |}{4k^2 + 6k + 2} = 0[/mm]
>
da fehlt wieder ein [mm]\lim_{k\to\infty}[/mm] 
> Zu b1) habe ich einfach folgende Gleichung aufgestellt …
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^k}{k!} = \summe_{k=0}^{\infty} \left ( \bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + \bruch{x^{2k}}{(2k)!} \right )[/mm]
>
> … und so lange umgeformt, bis herauskam:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^k}{k!} = \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{2k+1} + x^{2k}}{(2k)!}[/mm]
>
> Allerdings stecke ich dann fest. Wie geht es (von hier aus)
> weiter?
Das stimmt nicht. Der Hauptnenner ist [mm](2k+1)![/mm].
Ich würde das ganze aber eh anders lösen. Betrachte im Term [mm]\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}[/mm] die beiden Summen getrennt. Welche Potenzen (und Fakultäten) werden bei der ersten Summe addiert? Welche bei der Zweiten? Welche insgesamt? So bist du mit 1-2 Zeilen Text schneller fertig, als mit irgendwelchen Umformungen.
Beachte bei der weiteren Bearbeitung, dass es [mm]\sinh(x)=\frac 12(\exp(x)-\exp(-x))[/mm] heißen muss!
Lieben Gruß,
Fulla
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Hallo Fulla,
> da fehlt wieder ein [mm]\lim_{k\to\infty}[/mm]
Darauf sollte ich echt mehr achtgeben. Danke für's Auf-die-Finger-hauen. 
> Ich würde das ganze aber eh anders lösen. Betrachte im
> Term [mm]\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}[/mm]
> die beiden Summen getrennt. Welche Potenzen (und
> Fakultäten) werden bei der ersten Summe addiert? Welche
> bei der Zweiten? Welche insgesamt? So bist du mit 1-2
> Zeilen Text schneller fertig, als mit irgendwelchen
> Umformungen.
Die erste Summe enthält nur gerade Summanden, die zweite Summe enthält nur ungerade Summanden. Die Exponentialfunktion enthält die Summe dieser beiden Summen, also alle Summanden.
Meinst Du das so? Und reicht das auch als Verifizierung aus?
>
> Beachte bei der weiteren Bearbeitung, dass es
> [mm]\sinh(x)=\frac 12(\exp(x)-\exp(-x))[/mm] heißen muss!
Vielen Dank für den Hinweis! Ich hab mich da wohl vertippt, der Fehler ist jetzt auch im Ausgangsbeitrag korrigiert.
Viele Grüße
Patrick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 So 25.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei deinem Quotientenkriterium hast du glieder dividiert, die es in der Reihe gar nicht gibt. bei [mm] a_{2k+1} [/mm] gibt es [mm] a_{2k+2} [/mm] gar nicht, bzw es ist 0!
Mit b) ist das richtig, wenn du es in eine Summe schreibst und dann zusammenfasst.
Gruss leduart
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Hallo Leduart,
ich kann leider nicht nachvollziehen, worauf Du Dich beziehst. Wo taucht a_2k+2 auf?
Gruß
Patrick
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Hallo Patrick,
> Hallo Leduart,
>
> ich kann leider nicht nachvollziehen, worauf Du Dich
> beziehst. Wo taucht a_2k+2 auf?
Es taucht nicht auf, bzw. ist =0 bei der Reihe vom [mm] $\sinh$
[/mm]
Es tauchen doch nur Summanden (Koeffizienten) [mm] $\neq [/mm] 0$ auf, wenn x eine ungerade Potenz hat, alle Summanden bzw. Koeffizienten für gerade Potenzen von x sind 0
Ich hatte dir doch schon mal in einem anderen thread geschrieben, dass du (bei Potenzreihen) aufpassen musst, ob du das QK überhaupt anwenden kannst.
Hier würdest du durch 0 teilen, das ist nicht erlaubt.
Da musst du ein anderes Kriterium, etwa Cauchy-Hadamard für Potenzreihen oder das Wurzelkriterium, wenn du die Potenzreihe als "normale" Reihe auffasst.
>
> Gruß
> Patrick
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
> Es tauchen doch nur Summanden (Koeffizienten) [mm]\neq 0[/mm] auf,
> wenn x eine ungerade Potenz hat, alle Summanden bzw.
> Koeffizienten für gerade Potenzen von x sind 0
>
> Ich hatte dir doch schon mal in einem anderen thread
> geschrieben, dass du (bei Potenzreihen) aufpassen musst, ob
> du das QK überhaupt anwenden kannst.
>
> Hier würdest du durch 0 teilen, das ist nicht erlaubt.
>
> Da musst du ein anderes Kriterium, etwa Cauchy-Hadamard
> für Potenzreihen oder das Wurzelkriterium, wenn du die
> Potenzreihe als "normale" Reihe auffasst.
ich hatte gar nicht bemerkt, dass ich hier durch 0 teilen würde.
Da wir die Formel von Cauchy-Hadamard in der Vorlesung nicht hatten, versuche ich es mal direkt mit dem Wurzelkriterium.
Das heißt für sinh(x) also:
[mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{\bruch{\left | x \right |^{2k+1}}{(2k+1)!}} = \limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{\bruch{\left | x \right |^{2k} * \left | x \right |}{(2k+1)!}} = \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{\left | x \right |^2 * \left | x \right |}{\wurzel[k]{(2k+1)!}} = \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{\left | x \right |^3}{\wurzel[k]{(2k+1)!}} = 0[/mm]
Das müsste so doch funktionieren, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Di 27.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
dazu müsstest du zeigen dass [mm] \wurzel[k]{(2k+1)!} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] geht. Ausserdem ist das zweite = falsch und muss durch [mm] \le [/mm] für |x|>1 ersetzt werden.
ich würde das Quotientenkriterium benutzen, aber [mm] x^2=z [/mm] setzen dann hast du eine "normale" Reihe für z wenn du 2k=i setzt
Gruss leduart
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Hallo leduart,
dann versuch ich's nochmal mit dem Quotientenkriterium.
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann meinst Du das wie folgt, oder?
[mm]z := x^2[/mm]
[mm]i := 2k[/mm]
[mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \left | \bruch{a_{k+1}}{a_k} \right | = \limes_{k\rightarrow\infty} \left | \bruch{z^{k+2} * (i+1)!}{(i+2)! * 2^{k+1}} \right | = \limes_{k\rightarrow\infty} \left | \bruch{z^{k+1} * z * (i+1)!}{(i+2)! * 2^{k+1}} \right | = \limes_{k\rightarrow\infty} \left | \bruch{z * (i+1)!}{(i+2)!} \right | = \limes_{k\rightarrow\infty} \left | \bruch{z * (i+1)!}{(i+2) * (i+1)!} \right | = \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{\left | z \right |}{(i+2)} = \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{\left | x \right |^2}{(2k+2)} = 0 < 1[/mm]
Gruß
Patrick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Di 27.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
im prinzip das richtige, aber ein wildes Durcheinander von k und i was natürlich falsch ist-Schreib zuerst die Summe neu auf, dann ohne k weiter. da k nur ein Laufindex ist kannst du es natürlich auch wieder statt i verwenden, aber nicht beides mischen, da [mm] 2^k [/mm] wert ich als tipfehler, obwohl ja 2 nicht neben z liegt.
kontrolliere deinen Schrieb mit Vorschau.
Gruss leduart
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Hallo leduart,
> im prinzip das richtige, aber ein wildes Durcheinander von
> k und i was natürlich falsch ist-Schreib zuerst die Summe
> neu auf, dann ohne k weiter. da k nur ein Laufindex ist
> kannst du es natürlich auch wieder statt i verwenden, aber
> nicht beides mischen
Also so?
[mm] \limes_{i\rightarrow\infty} \left | \bruch{a_{i+1}}{a_i} \right | = \limes_{i\rightarrow\infty} \left | \bruch{z^{i+2} \cdot{} (i+1)!}{(i+2)! \cdot{} z^{i+1}} \right | = \limes_{i\rightarrow\infty} \left | \bruch{z^{i+1} \cdot{} z \cdot{} (i+1)!}{(i+2)! \cdot{} z^{i+1}} \right | = \limes_{i\rightarrow\infty} \left | \bruch{z \cdot{} (i+1)!}{(i+2)!} \right | = \limes_{i\rightarrow\infty} \left | \bruch{z \cdot{} (i+1)!}{(i+2) \cdot{} (i+1)!} \right | = \limes_{i\rightarrow\infty} \bruch{\left | z \right |}{(i+2)} = \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{\left | x \right |^2}{(2k+2)} = 0 < 1 [/mm]
Gruß
Patrick
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 29.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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