Hyperebene < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Do 30.06.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Ich würde gerne wissen, was eine Hyperebene ist!
Vielen Dank!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 Do 30.06.2005 | | Autor: | Berti |
eine Hyperebene ist ein Raum der Dimension n-1
wenn du dich zum beispiel im Raum [mm] \IR^3 [/mm] befindest, ist jede Ebene eine Hyperebene des [mm] \IR^3.
[/mm]
wenn du dich im [mm] \IR^2 [/mm] befindest ist jede Gerade eine.
und das ganze im [mm] \IR^n. [/mm] da sind eben alle (Unter-) räume der dimension n-1 Hyerebenen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Mi 19.07.2006 | | Autor: | amalie |
Wie kann ich denn eine solche Hyperebene bestimmen wenn ich eine Fkt von [mm] R^3 [/mm] nach R habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 Do 20.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wie kann ich denn eine solche Hyperebene bestimmen wenn ich
> eine Fkt von [mm]R^3[/mm] nach R habe?
Wenn es eine lineare Funktion ist (ich nenne sie mal $f$) und sie nicht grad ueberall 0 ist, dann ist [mm] $\ker [/mm] f = [mm] \{ x \in \IR^3 \mid f(x) = 0 \}$ [/mm] eine Hyperebene in [mm] $\IR^3$: [/mm] Nach dem Dimensionssatz ist [mm] $\dim \ker [/mm] f + [mm] \dim [/mm] Im f = [mm] \dim \IR^3 [/mm] = 3$, und [mm] $\dim [/mm] Im f = [mm] \dim \IR [/mm] = 1$. Also ist [mm] $\dim \ker [/mm] f = 2 = 3 - 1$ und somit eine Hyperebene.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:37 Do 20.07.2006 | | Autor: | amalie |
Vielen Dank!
Mich interessiert noch ob ich auch irgendwie über die Analysis gehen kann also eine Hyperebene über den Gradienten bestimmen kann
lG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Do 20.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Amalie!
> Mich interessiert noch ob ich auch irgendwie über die
> Analysis gehen kann also eine Hyperebene über den
> Gradienten bestimmen kann
Wenn du eine beliebige genuegend glatte Funktion $f : [mm] \IR^n \to \IR$ [/mm] hast und den Gradienten $grad(f)(x) = v = [mm] (v_1, \dots, v_n) \neq [/mm] (0, [mm] \dots, [/mm] 0)$ an der Stelle $x = [mm] (x_1, \dots, x_n)$, [/mm] dann kannst du den Orthogonalraum zu $v$ betrachten: Dieser hat die Dimension $n - 1$ (da der von $v$ erzeugte Untervektorraum Dimension $1$ hat).
Wenn du diese Hyperebene um $x$ verschiebst, und wenn $n = 2$ ist, dann ist das gerade die Tangente an der Hoehenlinie von $f$ zum Niveau $f(x)$.
LG Felix
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