Hyperebene < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Di 10.01.2012 | | Autor: | Balodil |
| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum mit dim V < [mm] \infty. [/mm] Sei H [mm] \subset [/mm] V ein Untervektorraum. Zeige:
H ist Hyperebene [mm] \gdw \exists [/mm] T [mm] \in [/mm] V*\ {0}: H = Kern T |
Schönen guten Abend!
Ich habe mir jetzt B = [mm] (b_1, [/mm] ..., [mm] b_n) [/mm] als Basis für V gewählt.
Dementsprechend hat H die Basis B* = [mm] (b_1,...,b_{n-1})
[/mm]
Durch rumstöbern im Inet habe ich herausgefunden, das zu jeder Hyperebene ein lineares Funktional existiert, so dass der Kern des Funktionals die Hyperebene ist.
Das entspreche genau der Aufgabenstellung.
ABer wie beweise ich das?
Vielen Dank!
lg Balodil
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Du mußt vorsichtiger formulieren, etwa so: Man geht von einer Basis [mm]b_1,b_2,\ldots,b_{n-1}[/mm] von [mm]H[/mm] aus und ergänzt diese durch [mm]b_n[/mm] zu einer Basis von [mm]V[/mm].
Jetzt zeige, daß [mm]T = b_n^{\*}[/mm], das ist die Linearform mit [mm]b_n^{\*}(b_j) = \delta_{nj}[/mm] (Kronecker-Symbol), das Gewünschte leistet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Di 10.01.2012 | | Autor: | Balodil |
Also das Kronecker Symbol sieht ja wie folgt aus:
[mm] b_n [/mm] * [mm] (b_j) [/mm] = [mm] \delta_{nj} [/mm] = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{für } n = j \\ 0, & \mbox{für } n \not= j \end{cases}
[/mm]
Daraus ergibt sich doc hdas T = [mm] b_n [/mm] * ist, aber ich kann nicht so recht erklären wie, eigentlich ja weil sonst alles null ist oder?
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Die Schreibweise [mm]b_n[/mm] * [mm](b_j)[/mm] irritiert mich. Es geht hier nicht um eine Multiplikation. Der Stern ist hier ein Zeichen für eine Abbildung der dualen Basis. Lassen wir das weg und sagen gleich
[mm]T(b_j) = \delta_{nj}[/mm]
Durch die Festlegung auf der Basis ist die Abbildung [mm]T[/mm] qua lineare Fortsetzung eindeutig bestimmt. Jetzt zeige:
[mm]H \ \text{Hyperebene} \ \ \Rightarrow \ \ \operatorname{Kern} T = H[/mm]
Später ist dann auch noch die Umkehrung zu zeigen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Di 10.01.2012 | | Autor: | Balodil |
ich meinte damit b sternchen das hatte nur nicht so recht geklappt und sah wohl irritierend aus.
ok ich veruchs mal
Also ich weiß H ist eine Hyperebene mit der Basis [mm] b_1 [/mm] ... [mm] b_{n-1}, [/mm] die durch [mm] b_n [/mm] zu V ergänzt werden kann.
[mm] T(b_j) [/mm] = [mm] \delta_{nj} [/mm]
gibt mir nun an, dass alle elemente null sind außer [mm] b_n. [/mm]
also bildet H Elemente auf die Null ab und ist somit = KernT
so in etwa? so ganz blick ich noch nicht durch.
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Nein, nicht so. [mm]T[/mm] ist eine Abbildung. Eine Aussage wie "gibt mir an, daß alle Elemente 0 sind" ist daher sinnlos. Die Abbildung [mm]T[/mm] gibt an, daß alle Basisvektoren außer [mm]b_n[/mm] auf 0 abgebildet werden. So wäre es richtig. Und [mm]H[/mm] wiederum ist keine Abbildung, sondern eine Menge, eben eine Hyperebene. Dort von abbilden zu reden ist auch wieder falsch. [mm]H[/mm] tut nichts. [mm]H[/mm] ist.
Wenn ich hier auf den Formulierungen herumreite, dann nicht wegen Beckmesserei, sondern weil sich darin ein oberflächliches Denken zeigt, was ja dann im Folgenden auch zu völlig falschen Aussagen führt.
[mm]T[/mm] ist auf ganz [mm]V[/mm] erklärt, nicht nur auf den Basisvektoren. Allerdings ist [mm]T[/mm] nur auf den Basisvektoren explizit erklärt. Dann wird [mm]T[/mm] auf ganz [mm]V[/mm] in klassischer Weise linear fortgesetzt. Wenn du also irgendein Element [mm]x \in V[/mm] hast, dann kannst du es mit Hilfe von Skalaren [mm]\lambda_i[/mm] eindeutig bezüglich der Basis beschreiben:
[mm]x = \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i[/mm]
Und jetzt wird [mm]x[/mm] durch [mm]T[/mm] abgebildet, und zwar folgendermaßen:
[mm]T(x) = \sum_{i=1}^n \lambda_i T(b_i)[/mm]
So funktioniert das immer mit der linearen Fortsetzung. Und erst jetzt kommt die spezielle Definition von [mm]T[/mm] ins Spiel. Denn alle [mm]T(b_i)[/mm] bis auf [mm]T(b_n)[/mm] sind ja Null. Daher folgt
[mm]T(x) = \lambda_n T(b_n) = \lambda_n \cdot 1 = \lambda_n[/mm]
Jedem [mm]x[/mm] wird durch [mm]T[/mm] also die "[mm]b_n[/mm]-Komponente" zugeordnet.
Vielleicht ein Beispiel:
[mm]V = \mathbb{R}^3[/mm] mit der Basis [mm]b_1 = (1,1,0), \, b_2 = (0,1,1), \, b_3 = (1,1,1)[/mm]
Jetzt werde [mm]H[/mm] von [mm]b_1[/mm] und [mm]b_2[/mm] aufgespannt. [mm]H[/mm] ist also ganz anschaulich eine Ebene durch den Ursprung im dreidimensionalen Raum. Wie wirkt nun [mm]T[/mm]? Zunächst wird [mm]T(x)[/mm] auf den Basisvektoren festgelegt, auf [mm]b_1[/mm] und [mm]b_2[/mm] als 0 und auf [mm]b_3[/mm] als 1, also
[mm]T(1,1,0) = 0, \ T(0,1,1) = 0, \ T(1,1,1) = 1[/mm]
Dann wird [mm]T[/mm] auf ganz [mm]\mathbb{R}^3[/mm] fortgesetzt. Dazu drücken wir einen Vektor [mm]x = (x_1,x_2,x_3)[/mm] bezüglich der Basis aus:
(*) [mm](x_1,x_2,x_3) = \lambda_1 \cdot (1,1,0) + \lambda_2 \cdot (0,1,1) + \lambda_3 \cdot (1,1,1)[/mm]
Betracht man die drei Koordinaten getrennt, so erhält man ein lineares Gleichungssystem mit [mm]\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3[/mm] als den Unbekannten. Man kann es auflösen und erhält:
[mm]\lambda_1 = x_2 - x_3, \ \lambda_2 = x_2 - x_1, \ \lambda_3 = x_1 - x_2 + x_3[/mm]
Mache die Probe, daß damit (*) erfüllt ist. [mm]T[/mm] wird also folgendermaßen fortgesetzt:
[mm]T(x) = \lambda_1 T(b_1) + \lambda_2 T(b_2) + \lambda_3 T(b_3) = \lambda_3 \cdot 1 = x_1 - x_2 + x_3[/mm]
Mache auch hier mit dem Ergebnis die Probe, daß tatsächlich [mm]T(b_1)=T(b_2)=0[/mm] und [mm]T(b_3)=1[/mm] gilt.
Und jetzt, so die Behauptung der Aufgabe, ist [mm]H[/mm] nichts anderes als der Kern von [mm]T[/mm]. Was war aber [mm]H[/mm]? Nun, die von [mm]b_1,b_2[/mm] aufgespannte Ursprungsebene:
(1) [mm]x = \sigma_1 b_1 + \sigma_2 b_2 = \sigma_1 (1,1,0) + \sigma_2 (0,1,1) \, ; \ \ \sigma_1,\sigma_2 \in \mathbb{R}[/mm]
Aus der Schule kennst du das als Parameterdarstellung einer Ebene.
Was ist aber der Kern von [mm]T[/mm]? Das sind alle Vektoren [mm]x=(x_1,x_2,x_3)[/mm], die von [mm]T[/mm] auf 0 abgebildet werden:
(2) [mm]T(x)=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x_1 - x_2 + x_3 = 0[/mm]
Aus der Schule kennst du das als die Normalenform einer Ebene. Und die Aufgabe behauptet nichts anderes, als daß (1) dieselbe Information wie (2) enthält.
Vielleicht ist dir jetzt etwas klarer, worum es hier überhaupt geht. Und jetzt mußt du vom konkreten Beispiel zurück auf die abstrakte Ebene der Vektorräume und Linearformen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Balodil |
Ich bin jetzt mal so vorgegangen wie in deinem Beispiel:
Wir haben
T(x) = [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_i T(b_i)
[/mm]
Alle [mm] T(b_i) [/mm] sind null bis auf [mm] T(b_n)
[/mm]
> drücken wir einen Vektor [mm]x = (x_1,x_2,x_3)[/mm] bezüglich der
> Basis aus:
>
> (*) [mm](x_1,x_2,x_3) = \lambda_1 \cdot (1,1,0) + \lambda_2 \cdot (0,1,1) + \lambda_3 \cdot (1,1,1)[/mm]
>
> Betracht man die drei Koordinaten getrennt, so erhält man
> ein lineares Gleichungssystem mit
> [mm]\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3[/mm] als den Unbekannten. Man kann
> es auflösen und erhält:
>
> [mm]\lambda_1 = x_2 - x_3, \ \lambda_2 = x_2 - x_1, \ \lambda_3 = x_1 - x_2 + x_3[/mm]
>
Wie ich das auf den abstrakten Raum übertrage wusste ich nicht und habe dann wir folgt weiter gemacht:
Also H soll gleich dem Kern von T sein
H ist:
x = [mm] \lambda_1 b_1 [/mm] + ... + [mm] \lambda_{n-1} b_{n-1}
[/mm]
Der Kern von T ist:
T(x) = 0 [mm] \gdw \lambda_n [/mm] = 0
Die beiden Gleichungen drücken das gleich aus, das kann man im [mm] R^3 [/mm] noch nachrechnen aber wie zeige ich das in n-dimensionalen?
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Eine irgendwie geartete explizite Darstellung von [mm]T[/mm] wie im Beispiel ist nicht möglich und auch gar nicht nötig. Die explizite Berechnung diente nur dazu, den Zusammenhang zur Schulmathematik herzustellen, damit du da etwas Vertrautes in neuem abstraktem Gewand wiedererkennst.
Eine lineare Abbildung kann man immer so definieren, daß man die Werte auf einer Basis vorgibt und sie nach dem beschriebenen Verfahren linear fortsetzt. Das ist ein Satz, den du so oder anders sicher in deinen Unterlagen findest. Man hätte also auch [mm]T(b_1) = 1, \, T(b_2) = -1 , \, T(b_3) = 0 , \, T(b_4)= 3[/mm] usw. vorgegeben und dann linear fortsetzen können. Nur würde mit diesem T der Beweis nicht funktionieren. Die "geniale" Idee war es also, [mm]T(b_{j}) = \delta_{nj}[/mm] zu setzen.
Und ansonsten hast du recht, das ist der gesamte Beweis. Ich würde es allerdings noch etwas anders darstellen. Wenn [mm]T[/mm] wie besprochen definiert wurde, kann man den Beweis so zu Ende bringen:
Sei [mm]x = \sum_{j=1}^n \lambda_j b_j[/mm] mit Skalaren [mm]\lambda_1, \ldots \lambda_n[/mm]. Dann gilt gemäß Definition von [mm]T[/mm] stets [mm]T(x) = \lambda_n[/mm], und es folgt:
[mm]x \in H \ \ \Leftrightarrow \ \ \lambda_n = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ T(x) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x \in \operatorname{Kern} T[/mm]
Und damit ist gezeigt: [mm]H \ \text{Hyperebene} \ \ \Rightarrow \ \ \exists \, T \neq 0: \ \operatorname{Kern} T = H[/mm]
(Daß [mm]T \neq 0[/mm] ist, ist klar, da [mm]T(b_n) = 1[/mm] ist. Also ist [mm]T[/mm] nicht die Nullabbildung, und das meint ja die 0 hier.)
Jetzt mußt du für einen Unterraum [mm]H[/mm] noch
[mm]\exists \, T \neq 0: \ \operatorname{Kern} T = H \ \ \Rightarrow \ \ H \ \text{Hyperebene}[/mm]
zeigen. Dieses Mal ist also die lineare Abbildung [mm]T[/mm] (sie ist eine Linearform, hat also Werte im Skalarkörper des Vektorraums) bereits vorgegeben. Du darfst sie nicht mehr redefinieren. Du weißt aber über die Abbildung zwei Dinge: [mm]T \neq 0[/mm] (Nullabbildung) und [mm]\operatorname{Kern} T = H[/mm]. Und du mußt zeigen, daß [mm]H[/mm] eine Hyperebene ist, mit andern Worten, daß gilt: [mm]\dim H = n-1[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Balodil |
super vielen Dank :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Mi 11.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei V ein K-Vektorraum mit dim V < [mm]\infty.[/mm] Sei H [mm]\subset[/mm] V
> ein Untervektorraum. Zeige:
>
> H ist Hyperebene [mm]\gdw \exists[/mm] T [mm]\in[/mm] V*\ {0}: H = Kern T
> Schönen guten Abend!
>
> Ich habe mir jetzt B = [mm](b_1,[/mm] ..., [mm]b_n)[/mm] als Basis für V
> gewählt.
> Dementsprechend hat H die Basis B* = [mm](b_1,...,b_{n-1})[/mm]
>
> Durch rumstöbern im Inet habe ich herausgefunden, das zu
> jeder Hyperebene ein lineares Funktional existiert, so dass
> der Kern des Funktionals die Hyperebene ist.
> Das entspreche genau der Aufgabenstellung.
> ABer wie beweise ich das?
Dass V endlichdim. ist braucht man nicht.
Ist H eine Hyperebene in V , so ist codim(H)=1, also ex. ein [mm] x_0 \in [/mm] V mit [mm] x_0 \ne [/mm] 0 und
$V=H [mm] \oplus \{kx_0: k \in K \}$
[/mm]
Definiere T wie folgt: ist v [mm] \in [/mm] V, so gibt es eindeutig bestimmte h [mm] \in [/mm] H und k [mm] \in [/mm] K mit: [mm] v=h+kx_0. [/mm] Setze T(v)=k.
T leistet das gewünschte.
FRED
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> Vielen Dank!
> lg Balodil
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