Hyperfläche in Normalform < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Do 02.06.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Sei eine Hyperfläche 2. Ordnung gegeben durch
[mm] H_{c}=\{\pmat{x\\y\\z}\in \IR^{3} | -x^2-y^2+2z^2+6xy+c=0\}
[/mm]
Bestimme die Normalform von [mm] H_c [/mm] in Abhängigkeit des Parameters c [mm] \in \IR. [/mm] |
Hallo!
Normalerweise würde ich hier jetzt eine Lösungsidee einbringen.. leider habe ich aber keine Idee wie man eine Hyperfläche in Normalform bringt.
Kennt evtl. jemand eine Seite, auf der das gut erklärt ist, bzw. kann hier jemand erklären wie sich die Normalform berechnen lässt? Wäre wirklich toll!
Vielen Dank schonmal! :)
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Hallo chesn,
> Sei eine Hyperfläche 2. Ordnung gegeben durch
>
> [mm]H_{c}=\{\pmat{x\\y\\z}\in \IR^{3} | -x^2-y^2+2z^2+6xy+c=0\}[/mm]
>
> Bestimme die Normalform von [mm]H_c[/mm] in Abhängigkeit des
> Parameters c [mm]\in \IR.[/mm]
> Hallo!
>
> Normalerweise würde ich hier jetzt eine Lösungsidee
> einbringen.. leider habe ich aber keine Idee wie man eine
> Hyperfläche in Normalform bringt.
> Kennt evtl. jemand eine Seite, auf der das gut erklärt
> ist, bzw. kann hier jemand erklären wie sich die
> Normalform berechnen lässt? Wäre wirklich toll!
Schreibe die gegebene Hyperfläche 2. Ordnung etwas um:
[mm]-x^2-y^2+2z^2+6xy+c=0 \gdw \pmat{x & y & z}*A*\pmat{x \\ y \\ z}+c=0[/mm],
wobei A eine symmetrische 3x3-Matrix ist.
Hier sind zunächst die Eigenwerte der Matrix A zu bestimmen.
Nachdem zu jedem Eigenvektor ein entsprechender Eigenvektor
berechnet wurde, kann die Transformationsmatrix, die sich aus
den Eigenvektoren aufbaut, aufgebaut werden. Diese Transfor-
mationsmatrix überführt die Matrix A in eine Diagonalmatrix.
Mehr dazu: ![[]](/images/popup.gif) Hauptachsentransformation
>
> Vielen Dank schonmal! :)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Sa 04.06.2011 | | Autor: | chesn |
Hallo! Danke für deine Antwort, hab das jetzt mal so gemacht.
Mit [mm] (x,y,z)*A*\pmat{x\\y\\z}+c [/mm] erhalte ich die Matrix:
[mm] A=\pmat{-1&3&0\\3&-1&0\\0&0&2}
[/mm]
Weiter erhalte ich die Eigenwerte [mm] \lambda_{1}=-4 [/mm] und [mm] \lambda_{2,3}=2.
[/mm]
Eigenvektoren: [mm] v_1=\pmat{1\\1\\0}, v_2=\pmat{0\\0\\1}, v_3=\pmat{-1\\1\\0}
[/mm]
Wobei [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] zum Eigenwert 2 sind. Meine Frage an der Stelle ist, dass Eigenvektoren zu je einem Eigenwert ja so weit ich weiß nicht orthogonal sind, aber hier scheinen sie das zu sein?!
Dann brauche ich die Vektoren doch nur noch zu normalisieren:
[mm] \Rightarrow v_1=\pmat{\bruch{1}{\wurzel{2}}\\ \bruch{1}{\wurzel{2}}\\0}, v_2=\pmat{0\\0\\ 1}, v_3=\pmat{-\bruch{1}{\wurzel{2}}\\ \bruch{1}{\wurzel{2}}\\0}
[/mm]
Nach Hauptachsentransformation erhalte ich jetzt die Matrizen Q und D aus den Eigenvektoren und Eigenwerten von A:
[mm] Q=\pmat{\bruch{1}{\wurzel{2}}&0&-\bruch{1}{\wurzel{2}}\\\bruch{1}{\wurzel{2}}&0&\bruch{1}{\wurzel{2}}\\0&1&0}, D=\pmat{-4&0&0\\0&2&0\\0&0&2}
[/mm]
Jetzt setze ich D folgendermaßen ein, wenn ich das richtig verstanden habe: (??)
[mm] (y_1 [/mm] , [mm] y_2 [/mm] , [mm] y_3)*\pmat{-4&0&0\\0&2&0\\0&0&2}*\pmat{y_1 \\ y_2 \\ y_3}+c=0
[/mm]
[mm] \gdw -4y_{1}^{2}+2y_{2}^{2}+2y_{3}^{2}+c=0
[/mm]
Ist das meine gesuchte Normalform oder habe ich was falsch gemacht?
Vielen Dank schonmal! :)
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Hallo chesn,
> Hallo! Danke für deine Antwort, hab das jetzt mal so
> gemacht.
>
> Mit [mm](x,y,z)*A*\pmat{x\\y\\z}+c[/mm] erhalte ich die Matrix:
>
> [mm]A=\pmat{-1&3&0\\3&-1&0\\0&0&2}[/mm]
>
> Weiter erhalte ich die Eigenwerte [mm]\lambda_{1}=-4[/mm] und
> [mm]\lambda_{2,3}=2.[/mm]
>
> Eigenvektoren: [mm]v_1=\pmat{1\\1\\0}, v_2=\pmat{0\\0\\1}, v_3=\pmat{-1\\1\\0}[/mm]
>
> Wobei [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] zum Eigenwert 2 sind. Meine Frage an der
> Stelle ist, dass Eigenvektoren zu je einem Eigenwert ja so
> weit ich weiß nicht orthogonal sind, aber hier scheinen
> sie das zu sein?!
Das ist hier Zufall.
> Dann brauche ich die Vektoren doch nur noch zu
> normalisieren:
>
> [mm]\Rightarrow v_1=\pmat{\bruch{1}{\wurzel{2}}\\ \bruch{1}{\wurzel{2}}\\0}, v_2=\pmat{0\\0\\ 1}, v_3=\pmat{-\bruch{1}{\wurzel{2}}\\ \bruch{1}{\wurzel{2}}\\0}[/mm]
>
> Nach
> Hauptachsentransformation
> erhalte ich jetzt die Matrizen Q und D aus den
> Eigenvektoren und Eigenwerten von A:
>
> [mm]Q=\pmat{\bruch{1}{\wurzel{2}}&0&-\bruch{1}{\wurzel{2}}\\\bruch{1}{\wurzel{2}}&0&\bruch{1}{\wurzel{2}}\\0&1&0}, D=\pmat{-4&0&0\\0&2&0\\0&0&2}[/mm]
Die Diagonalmatrix D muss doch so aussehen:
[mm]D=\pmat{\blue{2}&0&0\\0&2&0\\0&0&\blue{-4}}[/mm]
Das Aussehen der Diagonalmatrix hängt von der Matrix Q ab,
wie dort die Eigenvektoren platziert werden.
>
> Jetzt setze ich D folgendermaßen ein, wenn ich das richtig
> verstanden habe: (??)
>
> [mm](y_1[/mm] , [mm]y_2[/mm] , [mm]y_3)*\pmat{-4&0&0\\0&2&0\\0&0&2}*\pmat{y_1 \\ y_2 \\ y_3}+c=0[/mm]
>
> [mm]\gdw -4y_{1}^{2}+2y_{2}^{2}+2y_{3}^{2}+c=0[/mm]
>
> Ist das meine gesuchte Normalform oder habe ich was falsch
> gemacht?
Siehe oben.
die Normalform ist noch nicht erreicht.
Dazu mußt Du erreichen, daß die Einträge der Matrix D
durch eine weitere Matrix auf 0,1 oder -1 transformiert werden.
Die weitere Matrix ist eine Diagonalmatrix.
>
> Vielen Dank schonmal! :)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 So 05.06.2011 | | Autor: | chesn |
Danke für deine Antwort!
Wenn ich erreichen will, dass die Einträge von [mm] D=\pmat{2&0&0\\0&2&0\\0&0&-4} [/mm] durch eine weitere Diagonalmatrix zu 0, 1 oder -1 werden, dann wäre mir doch schon mit [mm] D^{-1} [/mm] geholfen, oder sehe ich das falsch?
Was muss ich dann weiter tun mit dieser Matrix?
Stehe wirklich auf dem Schlauch an der Stelle. :/
Vielen Dank schonmal!
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Hallo chesn,
> Danke für deine Antwort!
>
> Wenn ich erreichen will, dass die Einträge von
> [mm]D=\pmat{2&0&0\\0&2&0\\0&0&-4}[/mm] durch eine weitere
> Diagonalmatrix zu 0, 1 oder -1 werden, dann wäre mir doch
> schon mit [mm]D^{-1}[/mm] geholfen, oder sehe ich das falsch?
Das ist richtig, ist aber nicht so gemeint.
> Was muss ich dann weiter tun mit dieser Matrix?
> Stehe wirklich auf dem Schlauch an der Stelle. :/
Durch eine weitere Transformationsmatrix S
[mm]\pmat{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}}=S\pmat{z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3}}[/mm]
soll erreicht werden, daß
[mm]S^{t}DS=\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1}[/mm]
,wobei S eine Diagonalmatrix ist.
Durch diese Transformation ist die Hyperfläche dann in Normalform.
>
> Vielen Dank schonmal!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 So 05.06.2011 | | Autor: | chesn |
Okay, das hat mir schonmal etwas weiter geholfen. Für S ergibt sich dann:
[mm] S=\pmat{\bruch{1}{\wurzel{2}}&0&0\\0&\bruch{1}{\wurzel{2}}&0\\ 0&0&\bruch{1}{\wurzel{4}}}
[/mm]
Sieht meine Normalform dann so aus:
[mm] \bruch{y_{1}^{\*}}{\bruch{1}{\wurzel{2}}}+\bruch{y_{2}^{\*}}{\bruch{1}{\wurzel{2}}}-\bruch{y_{3}^{\*}}{\bruch{1}{\wurzel{4}}}+c=0 [/mm] ??
Oder hab ich das falsch aufgeschnappt? Vielen Dank für deine Hilfe! :)
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Hallo chesn,
> Okay, das hat mir schonmal etwas weiter geholfen. Für S
> ergibt sich dann:
>
> [mm]S=\pmat{\bruch{1}{\wurzel{2}}&0&0\\0&\bruch{1}{\wurzel{2}}&0\\ 0&0&\bruch{1}{\wurzel{4}}}[/mm]
>
Die Matrix S ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Sieht meine Normalform dann so aus:
>
> [mm]\bruch{y_{1}^{\*}}{\bruch{1}{\wurzel{2}}}+\bruch{y_{2}^{\*}}{\bruch{1}{\wurzel{2}}}-\bruch{y_{3}^{\*}}{\bruch{1}{\wurzel{4}}}+c=0[/mm]
> ??
>
> Oder hab ich das falsch aufgeschnappt? Vielen Dank für
> deine Hilfe! :)
>
Die Normalform sieht so aus:
[mm]y_{1}^{2}+y_{2}^{2} -y_{3}^{2}+c=0[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 So 05.06.2011 | | Autor: | chesn |
Danke nochmal! Jetzt kann ich es einigermaßen nachvollziehen! :)
Liebe Grüße!
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