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14: Hypergeometrische Reihen.
Für eine reelle Zahl x und eine natürliche Zahl n sei
[mm] (x)_n [/mm] = [mm] \produkt_{k=0}^{n-1} [/mm] (x+k) . Seien nun reelle zahlen a,b und c gegeben. Ist c ganz, so sei c positiv. Dann kann man die Reihen
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch {(a)_n (b)_n}{(c)_n (1)_1}2^n [/mm]
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch {(a)_n (b)_n}{(c)_n (1)_1}2^{-n}
[/mm]
betrachten. Unter welchen Voraussetzungen an a,b und c konvergieren sie?
Ich war in der vorlesung wos behandelt wurde leider nicht da, hab mich zwar kundig gemacht aber die zeit ist unzureichend um alles zu verstehn, da diese aufgabe baldmöglichst fertig sein muss.
ein freund empfahl mir vor 10 min dieses forum, daher versuch ichs hierrüber.
Grüße,
Analysis-N00b
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probier die zweite reihe mal mit dem quotientenkriterium, damit geht es relativ einfach
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Doofe frage, aber gibst du mri nen ansatz wie ichs anwende? bin noch mitten dabei die kriterien aufzuarbeiten.
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[mm] |\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}| [/mm] muss gegen etwas konvergieren was strikt kleiner als 1 ist. das ist in diesem fall [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
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Hallo Katilein84,
Die Konvergenz von [mm]|\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}|[/mm] ist beim Quotientenkriterium nicht gefordert. Lediglich
[mm]|\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}|\le q<1 [/mm] [mm] \forall k>n_0[/mm]
gruß
mathemaduenn
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ds dies das quotientenkriterium ist weiß ich, aber ich weiß nicht ganz die umsetzung. bitte. kannst du mir den anfang geben? ausrechnen kann ich dann alleine, aber ich muss dass irgendwie auf die reihe bekommen.
bitte.
*lieb schau*
also wie mach ich dass jetzt? bitte langsam und genau erklären, bin noch anfänger.
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[mm] |\bruch{\produkt_{k=o}^{n} (a+k) \produkt_{k=1}^{n} (b+k) 2^{n} \produkt_{k=o}^{n-1} (c+k) \produkt_{k=1}^{n-1} (1+k)} {\produkt_{k=o}^{n} (c+k) \produkt_{k=1}^{n} (1+k) \produkt_{k=o}^{n-1} (a+k) \produkt_{k=1}^{n-1} (b+k) 2^{n+1}}|
[/mm]
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hallo,
hier scheinen einige immer über dem aufgabenzettel der rub zu hängen, da häng ich auch noch drüber. gehörst du katilein auch dazu oder hilfst du uns nur so?
btw. wie rechne ich das ganze jetzt aus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 So 14.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Moin !
Hmm weiß nich ob das so stimmt
Laut Aufgabe steht da
[mm] (1)_{1} [/mm] was für [mm] a_n [/mm] hieße n=1
[mm] \produkt_{k=0}^{n-1=0} [/mm] (x+k) = 1
und demzufolge für [mm] a_{n+1}
[/mm]
[mm] \produkt_{k=0}^{n-1=n=1} [/mm] (x+k)=1*2=2
hiernach stände nach dem Quotientenkriterium
[mm] |\bruch{\produkt_{k=0}^{n} (a+k)\produkt_{k=0}^{n} (b+k)\produkt_{k=0}^{n-1} (c+k) 2^{n} 1}{\produkt_{k=0}^{n-1} (a+k)\produkt_{k=0}^{n-1} (b+k)\produkt_{k=0}^{n} (c+k) 2^{(n+1)} 2} [/mm] |
was zu
[mm] \bruch{1}{4} |\bruch{(a+n)(b+n)}{(c+n)} [/mm] |
führt
kann mich auch irren und das katilein84 hat doch recht
MfG zwerg
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Nach meinen Überlegungen gilt wohl eher:
[mm] $(1)_n [/mm] = [mm] \produkt_{k=0}^{n-1} [/mm] (1+k) = n!$
... aber inwiefern das jetzt weiterhilft, weiß ich noch nicht, da ich gerade erst darauf gekommen bin.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:30 Mo 15.11.2004 | | Autor: | zwerg |
moin! na dann guck doch mal in die Aufgabe da steht ja eindeutig und das in beiden Fälen [mm] (1)_{1}
[/mm]
und da kann uns nur der Ana-N00b weiterhelfen, da er im Besitz der Originalaufgabe ist.
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Das dort [mm] $(1)_1$ [/mm] steht, ist mir jetzt erst aufgefallen, es muss aber [mm] $(1)_n$ [/mm] heißen. Ich bin nämlich zufälligerweise auch im Besitz der Originalaufgabe. 
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Hallo zwerg,
So wie das in der Aufgabe steht hast Du vom Prinzip her Recht. Allerdings wäre [mm](1)_{1}[/mm] eine Zahl die in jedem Summanden gleich ist. Fällt also bei der Quotientenbildung weg.
gruß
mathemaduenn
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