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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Madabaa |
| Aufgabe | Gegeben sei die Menge
U= [mm] \{\pmat{ a & -b \\ b & a } | a,b \in \IR \} \subseteq M_{2,2}(\IR)
[/mm]
(1) Zeigen Sie,dass U ein Untervektorraum von [mm] M_{2,2}(\IR) [/mm] ist.
(2) Zeigen Sie,dass die Gleichung [mm] X^{2}+E_{2} [/mm] =0 in U lösbar ist.
(3) Zeigen Sie,dass die Zuordnung von Matrizen und Quaternionen ein Isomorphismus ist
dh. es gilt [mm] M(q_{1}) *M(q_{2})= M(q_{1} [/mm] * [mm] q_{2} [/mm] ) |
Hallo,
zu 1
Untervektorraum falls:
(1) U [mm] \not= \emptyset
[/mm]
(2) u,v [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] u+v [mm] \in [/mm] U
(3) [mm] \lambda \in [/mm] K , u [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow \lambda [/mm] *u [mm] \in [/mm] U
(1) [mm] \pmat{ a & -b \\ b & a } [/mm] + [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ a & -b \\ b & a }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] U [mm] \not= \emptyset
[/mm]
(2)
[mm] u=\pmat{ a & -b \\ b & a } [/mm] ,v= [mm] \pmat{ c & -d \\ d & c }
[/mm]
[mm] \pmat{ a & -b \\ b & a }+\pmat{ c & -d \\ d & c }
[/mm]
[mm] =\pmat{ a+c & -b-d \\ b+d & a+c }
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] u,v [mm] \in [/mm] U
ist es soweit richtig?
zwei andere Fragen habe ich noch:
U= [mm] \{\pmat{ a & -b \\ b & a } | a,b \in \IR \} \subseteq M_{2,2}(\IR) [/mm] ,
ist mit [mm] M_{2,2}(\IR) [/mm] eine zwei kreuz zwei Matrix gemeint, wenn ja müsste es nicht [mm] M_{2x2}(\IR) [/mm] heißen?
und zu Aufgabe 2: Wie ist X und E definiert?
MfG
Madabaa
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> Gegeben sei die Menge
> U= [mm]\{\pmat{ a & -b \\ b & a } | a,b \in \IR \} \subseteq M_{2,2}(\IR)[/mm]
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> (1) Zeigen Sie,dass U ein Untervektorraum von [mm]M_{2,2}(\IR)[/mm]
> ist.
>
> (2) Zeigen Sie,dass die Gleichung [mm]X^{2}+E_{2}[/mm] =0 in U
> lösbar ist.
>
> (3) Zeigen Sie,dass die Zuordnung von Matrizen und
> Quaternionen ein Isomorphismus ist
> dh. es gilt [mm]M(q_{1}) *M(q_{2})= M(q_{1}[/mm] * [mm]q_{2}[/mm] )
>
> Hallo,
> zu 1
>
> Untervektorraum falls:
> (1) U [mm]\not= \emptyset[/mm]
> (2) u,v [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] u+v [mm]\in[/mm]
> U
> (3) [mm]\lambda \in[/mm] K , u [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow \lambda[/mm] *u [mm]\in[/mm] U
>
> (1) [mm]\pmat{ a & -b \\ b & a }[/mm] + [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] =
> [mm]\pmat{ a & -b \\ b & a }[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] U [mm]\not= \emptyset[/mm]
>
> (2)
> [mm]u=\pmat{ a & -b \\ b & a }[/mm] ,v= [mm]\pmat{ c & -d \\ d & c }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ a & -b \\ b & a }+\pmat{ c & -d \\ d & c }[/mm]
> [mm]=\pmat{ a+c & -b-d \\ b+d & a+c }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] u,v [mm]\in[/mm] U
>
> ist es soweit richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zwei andere Fragen habe ich noch:
> U= [mm]\{\pmat{ a & -b \\ b & a } | a,b \in \IR \} \subseteq M_{2,2}(\IR)[/mm]
> ,
> ist mit [mm]M_{2,2}(\IR)[/mm] eine zwei kreuz zwei Matrix gemeint,
> wenn ja müsste es nicht [mm]M_{2x2}(\IR)[/mm] heißen?
Die Schreibweise mit dem Komma ist auch üblich, vielleicht sogar noch üblicher als die 2x2 Schreibweise. Gemeint ist das gleiche, nämlich das, was du auch denkst.
> und zu Aufgabe 2: Wie ist X und E definiert?
Übersetzt in die Welt der Zahlen würde die Gleichung [mm] $x^{2} [/mm] + 1 = 0 $ heißen.
Also: X ist die Variable, für die du eine Lösung suchst.
[mm] E_2 [/mm] ist die Einheitsmatrix, also die Matrix, mit der du eine andere multiplizieren kannst, ohne sie zu verändern (sozusagen die 1 der Matrizen). Das ist hier $ [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] $ , d.h. auf der Diagonalen stehen 1er, sonst sind es 0er. Die liegt auch in U drin.
Interessant ist auch die 0 auf der rechten Seite: Damit ist hier nämlich $ [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] $ gemeint, denn links steht ja eine Matrix, wenn man das alles ausrechnet.
Der Rest ist erstmal rechnen - für X also eine beliebige Matrix aus U einsetzen (mit a und b am besten), dann das Quadrat ausrechnen, dann [mm] E_2 [/mm] addieren und dann bekommst du eine Matrix, deren Einträge alle gleich 0 sein müssen.
Da brauchst du dann eine Fallunterscheidung und bekommst am Ende zwei Lösungen raus, die in U drin liegen.
> MfG
> Madabaa
lg weightgainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Madabaa |
[mm] X^{2}=\pmat{ a & -b \\ b & a } [/mm] * [mm] \pmat{ a & -b \\ b & a }
[/mm]
= [mm] \pmat{ a^{2}-b^{2} & -ab-ba & \\ ba+ab & -b^{2}+a^{2} }
[/mm]
[mm] \pmat{ a^{2}-b^{2} & -ab-ba & \\ ba+ab & -b^{2}+a^{2} } [/mm] + [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ (a^{2}-b^{2})+1 & -ab-ba & \\ ba+ab & (-b^{2}+a^{2})+1 } [/mm] ,
falls es richtig ist, was meinst du dann mit den Fallunterscheidungen
Ich stelle mir sowas vor, entweder
a oder b =0
[mm] (a^{2}-b^{2})+1 [/mm] und [mm] (-b^{2}+a^{2})+1 [/mm] müssen -1 ergeben.
Eine weitere Frage: Warum steht jetzt bei der Einheitsmatrix [mm] E_{2} [/mm] und nicht [mm] E_{2x2}.
[/mm]
Danke für deine bisherige Hilfe.
MfG
Madabaa
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Mi 05.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] E_2 [/mm] weil es in diesem Zusammenhang klar ist, man hätte auch nur E schreiben können.
wie kommst du auf deine 2 (falschen) Gleichungen ($ [mm] (a^{2}-b^{2})+1=-1 [/mm] $ schreib doch rechts das Ergebnis die 0 matrix hin. dann hast du 4 bzw 3 Gl
Gruss leduart
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Nur eine kleine Ergänzung.
> [mm]X^{2}=\pmat{ a & -b \\ b & a }[/mm] * [mm]\pmat{ a & -b \\ b & a }[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ a^{2}-b^{2} & -ab-ba & \\ ba+ab & -b^{2}+a^{2} }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ a^{2}-b^{2} & -ab-ba & \\ ba+ab & -b^{2}+a^{2} }[/mm] +
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] = [mm]\pmat{ (a^{2}-b^{2})+1 & -ab-ba & \\ ba+ab & (-b^{2}+a^{2})+1 }[/mm]
[mm]\pmat{ (a^{2}-b^{2})+1 & -2ab & \\ 2ab & (-b^{2}+a^{2})+1 } = \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0}[/mm]
Dann sieht man (auch ohne die zwei Gleichungen explizit aufzuschreiben), dass entweder a=0 oder b=0 sein muss.
Das eingesetzt in die andere Gleichung ergibt in einem Fall Lösungen, im anderen nicht.
>
> Danke für deine bisherige Hilfe.
> MfG
> Madabaa
>
>
>
>
lg weightgainer
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