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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Di 19.04.2005 | | Autor: | sophyyy |
Hallo,
kann mir bitte einer Hypothesentest erklären, weil ich einen knoten ins hirn bekomm, wenn die schon hinschreiben "mit 9850864% wird die aussage als falsch angenommen, obwohl sie richtig ist"...
z.B. ABIaufgabe 2003/ III Nr 4a, b, c
http://www.isb.bayern.de/isb/download.asp?DownloadFileID=e1e0269d3265968a6e7b6ea8ca6b5a93
gibt's da sonst noch welche tips und tricks?
vielen dank 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Walde |
Das Thema ist umfangreich, aber ich versuch mal es dir etwas zu erklären.
Nimm an, du hast eine Urne mit schwarzen und weissen Kugeln. Du würdest gerne wissen, ob es mehr schwarze oder weisse Kugeln sind. Du ziehst eine heraus, notierst, ob schwarz oder weiss, dann legst du sie wieder zurück und wiederholst das Experiment ein paar mal. (n-stufiger Versuch, mit 2 möglichen Ausgängen (Bernoulli-Experiment)).
Nimm an, du ziehst 10 mal ([mm] n=10 [/mm]) und davon sind alle schwarz. Das würde dich doch vermuten lassen, dass es viel mehr schwarze als weisse sind. Es könnte doch aber auch sein, dass es halbe/halbe ist oder sogar noch weniger (,d.h. Wahscheinlichkeit für 'schwarze Kugeln gezogen' [mm]p \le 0.5[/mm]) und du einfach keine Weisse erwischt hast.
Die Wahrscheinlichkeit, unter der Annahme (Hypothese), dass es höchstens gleich viele weisse und schwarze Kugeln sind (man schreibt [mm]H_0:p \le 0.5[/mm]), du aber bei 10 Versuchen nur schwarze ziehst beträgt höchstens: [mm] 0.5^{10} \approx 0.001[/mm] also ca. 0.1%.( wenn du mit einem [mm]p<0.5[/mm] rechnest, wird das Ergebnis noch kleiner.
Das heisst also, wenn in Wirklichkeit [mm]p \le 0.5[/mm] ist (,dh. höchstens halb weiss/halb schwarz) und nicht, wie du des Ergebnisses wegen denkst viel höher, würdest du einen falschen Schluss aus dem Ergebnis ziehen. Das nennt man einen Fehler 1. Art (oder auch [mm]\alpha[/mm]-Fehler) begehen (es gibt auch einen Fehler 2. Art, [mm]\beta[/mm]-Fehler). Dieser liegt hier in diesem Fall aber bei nur 0.001 ist also ziemlich gering. So dass du dir ziemlich sicher sein könntest, dass deine Schlussfolgerung richtig ist.
Merke dir also:Wenn du eine Hypothese auf Grund eines Testresultats als falsch ansiehst, also ablehnst obwohl, sie wahr ist , begehst du einen Fehler 1.Art.
Welche Schlussfolgerung würdest zu ziehen, wenn du 9 schwarze ziehst, oder 8, oder 7, usw. Würdest du die Hypothese, dass es höchstens halbe/halbe ist ablehnen oder nicht? Du brauchst eine Entscheidungsregel!
Es hat sich etabliert, dass man einen gewissen [mm]\alpha[/mm]-Fehler toleriert, ihn aber nicht zu gross haben will. Meistens soll er 5% nicht übersteigen. Es soll also gelten [mm]\alpha \le 0.05[/mm] (die sog. Irrtumswahscheinlichkeit)
Aus dieser Vorgabe, möchte man eine Entscheidungsregel ableiten, ab wieviel gezogenen schwarzen Kugeln man [mm] H_0:p\le0.5[/mm] ablehnt, ohne dabei die Irrtumswahscheinlichkeit zu überschreiten.
X stehe für die Anzahl schwarzer Kugeln.
X ist eine sog. Zufallsvariable und ist in unserem Fall Binomialverteilt (Ziehen mit Zurücklegen) mit Parametern [mm] n=10[/mm](Kugeln werden insgesamt gezogen) und [mm]p=0.5[/mm]. [mm]\alpha \le 0.05 [/mm].
Unsere Nullhypothese ist [mm]H_0:p \le 0.5[/mm], wir rechnen mit [mm]p=0.5[/mm], weil wir den 'schlimmsten' Fall annehmen wollen. Ist p in Wirklichkeit kleiner, ist auch [mm]\alpha[/mm] kleiner als ausgerechnet, aber das macht ja nichts, es soll nur nicht grösser werden als 0.05.
Unsere Regel lautet: 'Lehne [mm]H_0:p \le 0.5[/mm] ab, wenn wir k oder mehr schwarze Kugeln ziehen'.
Bestimme k.
Also:
Fehler 1.Art
=[mm] P( ' H_0 [/mm] gilt, wird aber abgelehnt [mm] $')\leP_{p=0.5}(X\gek)$
[/mm]
[mm]=P_{p=0.5}(X=k)+...+P_{p=0.5}(X=10)
=1-(P_{p=0.5}(X=0)+...+P_{p=0.5}(X=k-1))=1-F_{10;0.5}(k-1) [/mm]
[mm]F_{n;p}(k)[/mm] steht für die Summenfunktion der Binomialverteilung und ist tabelliert. Man muss jetzt nachschlagen für welche k-1 gilt: [mm]1-F_{10;0.5}(k-1) \le \alpha=0.05 [/mm] bzw.
[mm]F_{10;0.5}(k-1) \ge 1-\alpha=0.95 [/mm]
In unserem Fall ist [mm]1-F_{10;0.5}(7)=0.9453 [/mm]
[mm]1-F_{10;0.5}(8)=0.9893 \ge 0.95 [/mm]
also haben wir mit [mm]k-1=8[/mm] bzw. [mm]k=9[/mm] unsere Regel, mit der wir keinen Fehler 1.Art begehen können, der 0.05 übersteigt. Man nennt den Ablehnungsbereich K (in unserem Fall [mm]K={9..10} [/mm] und [mm] \bar K={0..8}[/mm]) [mm] \bar [/mm] K Annahmebreich von [mm] $H_0$.
[/mm]
Entscheident ist auch die Wahl der Hypothese. Das ist nicht leicht verständlich: Will man eine Vermutung erhärten, so wählt man die Hypothese entgegengesetzt. Z.B. Wenn ich jemanden überzeugen will, dass $p [mm] \ge [/mm] 0.5 ist $, Teste ich mit [mm] $H_0:p \le [/mm] 0.5 $ Das hängt damit zusammen, dass wenn ich dann wirklich ein Ergebnis habe, das gegen [mm] $H_0$ [/mm] spricht (also für meine Vermutung) ich mich kaum geirrt haben kann (weil meine Irrtumswahrscheinlichkeit ja relativ klein ist (<5%)). Eine Ablehnung einer Hypothese wird deshalb auch oft als signifikant bezeichnet. Nur eine Ablehnung hat eine starke Aussagekaft. Eine nicht Ablehnung ist weniger 'spektakulär' und kein deutliches Zeichen für die Hypothese, es heisst nur, dass man nichts deutliches dagegen sagen kann!
Ok, soweit erstmal, es gibt auch einen Fehler 2.Art und noch mehr Aufgabenstellungen, aber das ist die wichtigste und die Lösungen der meisten anderen Fragestellungen können aus der wichtigen Formel Fehler 1.Art [mm] $=P_{H_0}('X \in [/mm] K')$ abgeleitet werden. Ich hoffe das hat dir etwas geholfen, sorry für tippfehler.
Gruß Waldemar
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